Вправа 3.45 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
3.45. Розв'яжіть прямокутний трикутник ($\angle C=90^{\circ}$):
1) за двома катетами $a=7$ см і $b=35$ см;
2) за гіпотенузою $c=17$ см і катетом $a=8$ см;
3) за гіпотенузою $c=4$ см і гострим кутом $\alpha=50^{\circ}$;
4) за катетом $a=8$ см і протилежним кутом $\alpha=42^{\circ}$.
1) $a=7$, $b=35$
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{49+1225}=\sqrt{1274}=7\sqrt{26}\approx 35{,}7$ (см).
$\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{a}{b}=\dfrac{7}{35}=0{,}2$, $\alpha\approx 11^{\circ}19'$.
$\beta=90^{\circ}-\alpha\approx 78^{\circ}41'$.
2) $c=17$, $a=8$
$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$ (см).
$\sin\alpha=\dfrac{a}{c}=\dfrac{8}{17}\approx 0{,}4706$, $\alpha\approx 28^{\circ}4'$.
$\beta=90^{\circ}-\alpha\approx 61^{\circ}56'$.
3) $c=4$, $\alpha=50^{\circ}$
$\beta=90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}$.
$a=c\sin\alpha=4\sin 50^{\circ}\approx 3{,}06$ (см).
$b=c\cos\alpha=4\cos 50^{\circ}\approx 2{,}57$ (см).
4) $a=8$, $\alpha=42^{\circ}$
$\beta=90^{\circ}-42^{\circ}=48^{\circ}$.
$c=\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{8}{\sin 42^{\circ}}\approx 11{,}96$ (см).
$b=\dfrac{a}{\operatorname{tg}\alpha}=\dfrac{8}{\operatorname{tg}42^{\circ}}\approx 8{,}88$ (см).
Теорема Піфагора
$c^2=a^2+b^2$.
Тригонометрія прямокутного трикутника
$\sin\alpha=\dfrac{a}{c}$, $\cos\alpha=\dfrac{b}{c}$, $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{a}{b}$.
($a$ — катет, протилежний $\alpha$; $b$ — прилеглий; $c$ — гіпотенуза.)
Сума гострих кутів
$\alpha+\beta=90^{\circ}$.
Що означає «розв'язати трикутник». Знайти всі невідомі елементи — сторони і кути. У прямокутному трикутнику прямий кут уже відомий, тож шукаємо два невідомих елементи з трьох, спираючись на дані.
Який інструмент коли. Якщо дано дві сторони — спершу Піфагор для третьої, потім тригонометрична функція для кута. Якщо дано сторону й кут — одразу тригонометрія: $\sin$, $\cos$ чи $\operatorname{tg}$ залежно від того, які сторони пов'язує кут.
Як вибрати функцію. Дивись, які сторони фігурують. Протилежний катет і гіпотенуза — $\sin$; прилеглий і гіпотенуза — $\cos$; два катети — $\operatorname{tg}$. У пункті 4, де відомий катет навпроти кута, гіпотенузу зручно шукати через $\sin$, а другий катет — через $\operatorname{tg}$.
Точні й наближені відповіді. Сторони, що дають повний квадрат ($b=15$ у п.2) чи простий радикал ($7\sqrt{26}$ у п.1), записуємо точно. Кути нетабличні, тому їх округлюємо до хвилин за таблицями чи калькулятором.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.