Вправа 4.4 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 4.4. Розв'яжіть трикутник за двома сторонами та кутом між ними:
1) $b=18$ см, $c=22$ см, $\alpha=76^{\circ}$; 2) $a=20$ см, $b=15$ см, $\gamma=104^{\circ}$.
1) $b=18$ см, $c=22$ см, $\alpha=76^{\circ}$
$a^2 = b^2+c^2-2bc\cos\alpha = 18^2+22^2-2\cdot 18\cdot 22\cos 76^{\circ}$.
$a^2 \approx 324+484-792\cdot 0{,}242 \approx 616{,}4$.
$a \approx 24{,}8$ (см).
$\cos\beta = \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \approx \dfrac{616+484-324}{2\cdot 24{,}8\cdot 22} \approx 0{,}711$.
$\beta \approx 45^{\circ}$.
$\gamma = 180^{\circ}-\alpha-\beta \approx 180^{\circ}-76^{\circ}-45^{\circ} = 59^{\circ}$.
2) $a=20$ см, $b=15$ см, $\gamma=104^{\circ}$
$c^2 = a^2+b^2-2ab\cos\gamma = 20^2+15^2-2\cdot 20\cdot 15\cos 104^{\circ}$.
$c^2 \approx 400+225-600\cdot(-0{,}242) \approx 770{,}1$.
$c \approx 27{,}8$ (см).
$\cos\alpha = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \approx \dfrac{225+770-400}{2\cdot 15\cdot 27{,}8} \approx 0{,}714$.
$\alpha \approx 44^{\circ}$.
$\beta = 180^{\circ}-\alpha-\gamma \approx 180^{\circ}-44^{\circ}-104^{\circ} = 32^{\circ}$.
Теорема косинусів
$a^2 = b^2+c^2-2bc\cos\alpha$.
Дає третю сторону за двома сторонами і кутом між ними.
Косинус кута через три сторони
$\cos\beta = \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$, $\cos\alpha = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.
Сума кутів трикутника
$\alpha+\beta+\gamma = 180^{\circ}$.
Чому косинусів, а не синусів. Дано дві сторони і кут між ними — синус тут не допоможе, бо немає готової пари «сторона–протилежний кут». Теорема косинусів одразу дає третю сторону, після чого з'являються повні пари і можна добивати кути.
Другий кут — теж косинусів. Знайшовши третю сторону, другий кут зручніше шукати знову через косинус (а не синус): косинус однозначно визначає кут від $0^{\circ}$ до $180^{\circ}$, тоді як $\arcsin$ може дати «не той» кут, якщо він тупий. У пункті 2 кут $\gamma=104^{\circ}$ тупий — тому решта кутів точно гострі, і помилки зі знаком не буде.
Перевірка. Сума знайдених кутів має дати $180^{\circ}$. Невелике відхилення (1–2°) — наслідок округлень, це нормально.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.