Вправа 5.12 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
5.12. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює $17$ см, а основа — $16$ см. Знайдіть площу трикутника.
Як ви думаєте, чи доцільно для розв'язання цієї задачі застосовувати формулу Герона? Обговоріть це питання в класі.
Дано
$\triangle ABC$ — рівнобедрений
$AB=AC=17$ см
$BC=16$ см
$AM$ — висота до основи
Знайти
$S - ?$
$BM=MC=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{16}{2}=8$ (см).
$AM=\sqrt{AB^2-BM^2}=\sqrt{17^2-8^2}=$
$=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$ (см).
$S=\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot AM=\dfrac{1}{2}\cdot 16\cdot 15=120$ (см²).
Площа трикутника через сторону і висоту
$S=\dfrac{1}{2}ah$,
де $a$ — сторона, $h$ — проведена до неї висота.
Висота рівнобедреного трикутника
Висота до основи рівнобедреного трикутника є й медіаною, тому ділить основу навпіл.
Теорема Піфагора
У прямокутному трикутнику $AMB$: $AM^2+BM^2=AB^2$, звідки $AM=\sqrt{AB^2-BM^2}$.
Чи доцільна тут формула Герона. Можна й нею: $p=\dfrac{17+17+16}{2}=25$, $S=\sqrt{25\cdot 8\cdot 8\cdot 9}=\sqrt{14400}=120$. Відповідь та сама. Але через висоту запис коротший і числа простіші: висота виходить ціла ($15$), а під коренем Герона — велике число $14400$, з яким легше помилитися.
Чому зручна висота. Трикутник рівнобедрений, тож висота до основи одночасно є медіаною — вона ділить основу навпіл ($BM=8$). Далі прямокутний трикутник $AMB$ дає висоту за теоремою Піфагора. Це природний і короткий шлях саме для рівнобедреного трикутника.
Часта помилка. Поділити навпіл бічну сторону замість основи. Навпіл ділиться саме основа, бо висота опущена на неї; катет $BM$ — половина основи ($8$), а не половина бічної сторони.
Перевірка. Висота $15$ менша за бічну сторону $17$ — так і має бути (катет коротший за гіпотенузу). Обидва способи (висота і Герон) дали $120$ ✓.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.