Вправа 5.33 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
5.33. У трикутник зі сторонами $17$ см, $25$ см і $28$ см вписано коло, центр якого сполучено з вершинами трикутника. Знайдіть площі трикутників, які при цьому утворилися.
Дано
$\triangle ABC$
$AB=25$, $BC=28$, $CA=17$ (см)
$O$ — центр вписаного кола
Знайти
$S_{OAB}$, $S_{OBC}$, $S_{OCA}$
$p=\dfrac{17+25+28}{2}=\dfrac{70}{2}=35$ (см).
$S=\sqrt{35\cdot 18\cdot 10\cdot 7}=\sqrt{44100}=210$ (см²).
$r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{210}{35}=6$ (см).
Висота кожного трикутника $O$—сторона дорівнює $r$:
$S_{OAB}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot r=\dfrac{1}{2}\cdot 25\cdot 6=75$ (см²).
$S_{OBC}=\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot r=\dfrac{1}{2}\cdot 28\cdot 6=84$ (см²).
$S_{OCA}=\dfrac{1}{2}\cdot CA\cdot r=\dfrac{1}{2}\cdot 17\cdot 6=51$ (см²).
Перевірка
$75+84+51=210=S$ ✓.
Формула Герона
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, $p=\dfrac{a+b+c}{2}$.
Радіус вписаного кола
$r=\dfrac{S}{p}$.
Площа трикутника $O$—сторона
Відстань від центра вписаного кола до кожної сторони дорівнює $r$, тому
$S_{\text{стор}}=\dfrac{1}{2}\cdot(\text{сторона})\cdot r$.
Чому висота дорівнює $r$. Центр вписаного кола рівновіддалений від усіх трьох сторін, і ця відстань — радіус $r$. Якщо з'єднати $O$ з вершинами, кожна сторона трикутника стає основою маленького трикутника, а висота до неї — це саме $r$. Тому площа дорівнює $\dfrac{1}{2}\cdot(\text{сторона})\cdot r$.
Спершу $S$ і $r$. Дано лише сторони, тому площу всього трикутника беремо за Героном: $S=210$. Звідси $r=\dfrac{S}{p}=6$. Далі три площі — це просто три добутки $\dfrac{1}{2}\cdot\text{сторона}\cdot 6$.
Перевірка сумою. Три маленькі трикутники разом складають увесь $\triangle ABC$, тому їхні площі мають дати $S=210$. Дійсно, $75+84+51=210$. Якщо сума не збіглася — десь помилка.
Площі пропорційні сторонам. Висота $r$ у всіх трьох однакова, тому площі відносяться як сторони: $17:25:28$. Найбільша площа — біля найдовшої сторони ($28$ см).
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.