Вправа 5.38 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
5.38. Відрізок $BM$ — висота трикутника $ABC$, $BM=h$, $\angle A=\alpha$, $\angle ABC=\beta$. Знайдіть площу трикутника $ABC$.
Дано
$\triangle ABC$
$BM$ — висота, $BM=h$
$\angle A=\alpha$, $\angle ABC=\beta$
Знайти
$S_{ABC} - ?$
$BM\perp AC$, з $\triangle ABM$: $AB=\dfrac{h}{\sin\alpha}$.
$\angle C=180^{\circ}-\alpha-\beta$, $\sin C=\sin(\alpha+\beta)$.
$\dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{AB}{\sin C}\;\Rightarrow\;BC=\dfrac{h}{\sin(\alpha+\beta)}$.
$S=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot\sin\beta=$
$=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{h}{\sin\alpha}\cdot\dfrac{h}{\sin(\alpha+\beta)}\cdot\sin\beta=$
$=\dfrac{h^2\sin\beta}{2\sin\alpha\sin(\alpha+\beta)}$.
Катет проти кута
У прямокутному трикутнику катет дорівнює гіпотенузі на синус протилежного кута:
$h=AB\sin\alpha\;\Rightarrow\;AB=\dfrac{h}{\sin\alpha}$.
Сума кутів трикутника
$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}$.
$\sin(180^{\circ}-x)=\sin x$, тому $\sin C=\sin(\alpha+\beta)$.
Теорема синусів
$\dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{AB}{\sin C}$.
Площа за двома сторонами і кутом між ними
$S=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot\sin\beta$.
Перша сторона — з прямокутного трикутника. Висота $BM$ ділить трикутник на два прямокутних. У $\triangle ABM$ катет $BM=h$ лежить проти кута $A=\alpha$, гіпотенуза — сторона $AB$. Звідси $AB=\dfrac{h}{\sin\alpha}$.
Третій кут. Кути $A$ і $ABC$ відомі, тому $\angle C=180^{\circ}-\alpha-\beta$. Для теореми синусів важливо, що $\sin C=\sin(\alpha+\beta)$ — синус не «псується» від віднімання від $180^{\circ}$.
Друга сторона і площа. Для площі беремо дві сторони, що сходяться у вершині $B$ — це $AB$ і $BC$, кут між ними якраз $\beta$. Сторону $BC$ знаходимо теоремою синусів: $BC=\dfrac{h}{\sin(\alpha+\beta)}$. Підставляємо в $S=\dfrac{1}{2}AB\cdot BC\sin\beta$.
Часта помилка. Висота тут опущена на $AC$, а не на $AB$. Тому прямокутний трикутник, де катет $h$ зручно «прив'язати» до кута $\alpha$, — це саме $ABM$ (з вершиною $A$), а не трикутник із вершиною $C$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.