Вправа 5.45 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 5.45. Трав'яний газон має форму трикутника (рис. 5.8). Його сторони дорівнюють 7 м, 15 м і 20 м. На цьому газоні планують зробити круглу клумбу з квітів. Яким може бути найбільший радіус цієї клумби?
Дано
$\triangle$, $a = 7\text{ м}$, $b = 15\text{ м}$, $c = 20\text{ м}$
Клумба — круг всередині трикутника
Знайти
Найбільший радіус клумби ($r_{\text{max}}$)
1) Щоб кругла клумба мала найбільший можливий радіус і повністю поміщалася на трикутному газоні, вона повинна дотикатися до всіх трьох сторін трикутника. Отже, найбільший радіус такої клумби дорівнює радіусу вписаного кола трикутника ($r$).
2) Знайдемо півпериметр трикутного газону:
$p = \dfrac{a + b + c}{2} = \dfrac{7 + 15 + 20}{2} = \dfrac{42}{2} = 21\text{ м}$.
3) Обчислимо площу газону за формулою Герона:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
$S = \sqrt{21 \cdot (21 - 7) \cdot (21 - 15) \cdot (21 - 20)}$
$S = \sqrt{21 \cdot 14 \cdot 6 \cdot 1}$
$S = \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{3^2 \cdot 7^2 \cdot 2^2} = 3 \cdot 7 \cdot 2 = 42\text{ м}^2$.
4) Знайдемо радіус вписаного кола за формулою $r = \dfrac{S}{p}$:
$r = \dfrac{42}{21} = 2\text{ м}$.
Геометричний зміст найбільшого кола всередині многокутника
Найбільший круг, який можна розташувати всередині будь-якого трикутника, обмежений саме вписаним колом цього трикутника. Радіус цього круга повністю визначається його площею та півпериметром.
Формули площі та радіуса вписаного кола
$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$
$$r = \dfrac{S}{p}$$
Ця задача чудово демонструє, як життєва ситуація («як розмістити максимально велику клумбу на ділянці») мовою геометрії перетворюється на класичну задачу знаходження радіуса вписаного кола.
Логічний ланцюжок тут простий: якщо круг має бути максимальним і не виходити за межі трикутника, він повинен «роздутися» доти, доки не торкнеться всіх трьох сторін. Це і є визначення вписаного кола.
Математична частина розв'язання базується на двох кроках: спочатку ми шукаємо площу через формулу Герона (числа підібрані дуже гарно, підкореневе вираження дає точний квадрат: $\sqrt{1764} = 42$), а потім ділимо отриману площу на півпериметр. Отримуємо рівно 2 метри, що є гарною і красивою відповіддю.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.