Вправа 6.24 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк

Умова

6.24. Висота правильного трикутника дорівнює 15 см. Чому дорівнює радіус:

1) описаного кола; 2) вписаного кола?

Розв'язання

Дано

правильний $\triangle ABC$

висота $h = 15$ см

Знайти

$R - ?$ , $r - ?$

Висота

AH

проходить через центр

O

;

AO = R

OH = r

Центр правильного трикутника лежить на висоті й ділить її у відношенні $2:1$ , рахуючи від вершини: $AO:OH = 2:1$ .

$AO = R$ , $OH = r$ , $AH = h = R + r$ .

$R = \dfrac{2}{3}h = \dfrac{2}{3}\cdot 15 = 10$ (см).

$r = \dfrac{1}{3}h = \dfrac{1}{3}\cdot 15 = 5$ (см).

Відповідь

R = 10

см; 2)

r = 5

см.

Центр правильного трикутника на висоті

Центр (він же точка перетину медіан, висот і бісектрис) ділить кожну висоту у відношенні $2:1$ від вершини:

$R = \dfrac{2}{3}h, \quad r = \dfrac{1}{3}h$ .

Отже, $h = R + r$ і $R = 2r$ .

Чому висота ділиться навпіл «по центру». У правильному трикутнику висота, медіана й бісектриса з однієї вершини збігаються. Точка їх перетину — центр — ділить медіану $2:1$ . Більший шматок (від вершини) — це радіус описаного кола $R$ , менший (до сторони) — радіус вписаного $r$ .

Найкоротший шлях. Не треба шукати сторону $a$ . Достатньо «розрізати» висоту на три рівні частини: дві дають $R$ , одна — $r$ . Тому $R=\dfrac{2}{3}\cdot 15=10$ , $r=\dfrac{1}{3}\cdot 15=5$ .

Перевірка. $R+r=10+5=15=h$ ✓, і $R=2r$ ✓ — обидві властивості виконані.

Типова помилка. Ділити висоту навпіл ( $R=r=7{,}5$ ). Це невірно: центр ділить її саме $2:1$ , а не $1:1$ .