Вправа 6.24 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
6.24. Висота правильного трикутника дорівнює 15 см. Чому дорівнює радіус:
1) описаного кола; 2) вписаного кола?
Дано
правильний $\triangle ABC$
висота $h = 15$ см
Знайти
$R - ?$, $r - ?$
Центр правильного трикутника лежить на висоті й ділить її у відношенні $2:1$, рахуючи від вершини: $AO:OH = 2:1$.
$AO = R$, $OH = r$, $AH = h = R + r$.
$R = \dfrac{2}{3}h = \dfrac{2}{3}\cdot 15 = 10$ (см).
$r = \dfrac{1}{3}h = \dfrac{1}{3}\cdot 15 = 5$ (см).
Центр правильного трикутника на висоті
Центр (він же точка перетину медіан, висот і бісектрис) ділить кожну висоту у відношенні $2:1$ від вершини:
$R = \dfrac{2}{3}h, \quad r = \dfrac{1}{3}h$.
Отже, $h = R + r$ і $R = 2r$.
Чому висота ділиться навпіл «по центру». У правильному трикутнику висота, медіана й бісектриса з однієї вершини збігаються. Точка їх перетину — центр — ділить медіану $2:1$. Більший шматок (від вершини) — це радіус описаного кола $R$, менший (до сторони) — радіус вписаного $r$.
Найкоротший шлях. Не треба шукати сторону $a$. Достатньо «розрізати» висоту на три рівні частини: дві дають $R$, одна — $r$. Тому $R=\dfrac{2}{3}\cdot 15=10$, $r=\dfrac{1}{3}\cdot 15=5$.
Перевірка. $R+r=10+5=15=h$ ✓, і $R=2r$ ✓ — обидві властивості виконані.
Типова помилка. Ділити висоту навпіл ($R=r=7{,}5$). Це невірно: центр ділить її саме $2:1$, а не $1:1$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.