Вправа 6.29 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
6.29. Доведіть, що радіус кола, описаного навколо правильного трикутника, удвічі більший за радіус кола, яке вписане в цей трикутник.
Дано
правильний $\triangle ABC$
$R$ — радіус описаного кола
$r$ — радіус вписаного кола
Довести
$R = 2r$
У правильному трикутнику центри описаного й вписаного кіл збігаються — це точка $O$ перетину медіан (вона ж точка перетину висот і бісектрис).
Проведемо висоту $AH$. Вона є й медіаною, тому точка $O$ ділить її у відношенні $2:1$, рахуючи від вершини:
$AO : OH = 2 : 1$.
$AO = R$ (відстань від центра до вершини), $OH = r$ (відстань від центра до сторони).
Отже, $\dfrac{R}{r} = \dfrac{AO}{OH} = \dfrac{2}{1}$, звідки $R = 2r$.
Точка перетину медіан
Медіани трикутника перетинаються в одній точці й діляться нею у відношенні $2:1$, рахуючи від вершини.
Особливість правильного трикутника
У правильному трикутнику медіана, висота й бісектриса з однієї вершини збігаються, а центри описаного й вписаного кіл — спільні.
Головна ідея доведення. У правильному трикутнику немає «окремих» центрів: центр описаного кола, центр вписаного, точка перетину медіан і висот — це одна й та сама точка $O$. Тому радіуси $R$ і $r$ — просто дві частини однієї й тієї самої висоти.
Чому саме $2:1$. Висота правильного трикутника водночас є медіаною. А будь-яка медіана ділиться точкою перетину $2:1$ від вершини. Більша частина (до вершини) — це $R=AO$, менша (до сторони) — $r=OH$. Звідси $R=2r$.
Доведення не залежить від розміру. Ми ніде не використовували конкретну довжину сторони. Тому твердження $R=2r$ справедливе для будь-якого правильного трикутника.
Типова помилка. Намагатися довести через формули $R=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$ і $r=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$ — це теж дає $R=2r$, але громіздкіше. Доведення через властивість медіани коротше й «без чисел».
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.