Вправа 6.31 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
6.31. Сторона правильного многокутника дорівнює $a$, радіус описаного кола дорівнює $R$. Знайдіть радіус вписаного кола.
Дано
правильний многокутник
сторона $a$, радіус описаного $R$
Знайти
$r - ?$ (радіус вписаного)
Апофема $r$, половина сторони $\dfrac{a}{2}$ і радіус $R$ утворюють прямокутний трикутник із гіпотенузою $R$.
За теоремою Піфагора: $R^2 = r^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2$.
$r^2 = R^2 - \dfrac{a^2}{4}$.
$r = \sqrt{R^2 - \dfrac{a^2}{4}} = \dfrac{\sqrt{4R^2 - a^2}}{2}$.
Зв'язок a, R, r у правильному многокутнику
Радіус $R$, апофема $r$ і половина сторони утворюють прямокутний трикутник:
$R^2 = r^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2$.
Теорема Піфагора
$c^2 = a^2 + b^2$, де $c$ — гіпотенуза.
Звідки прямокутний трикутник. Проведемо радіус $R$ до вершини й апофему $r$ до середини найближчої сторони. Апофема перпендикулярна до сторони, а вершина віддалена від середини сторони на $\dfrac{a}{2}$. Три відрізки $R$, $r$, $\dfrac{a}{2}$ замикаються в прямокутний трикутник з прямим кутом між $r$ і $\dfrac{a}{2}$.
Формула універсальна. Цей зв'язок працює для будь-якого правильного многокутника — трикутника, квадрата, шестикутника тощо. Вид многокутника тут неважливий, бо ми не використовували кількість сторін $n$.
Дві форми відповіді. $\sqrt{R^2-\dfrac{a^2}{4}}$ і $\dfrac{\sqrt{4R^2-a^2}}{2}$ — це те саме число. Друга форма «чистіша»: під коренем немає дробу. Щоб її отримати, виносимо $\dfrac{1}{4}$ з-під кореня як $\dfrac{1}{2}$.
Типова помилка. Брати $R$ за катет. $R$ — найдовший з трьох відрізків (від центра до вершини), тому це гіпотенуза, а не катет.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.