Вправа 6.43 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
6.43. Доведіть, що сторона правильного восьмикутника дорівнює $R\sqrt{2-\sqrt{2}}$, де $R$ — радіус його описаного кола.
Дано
правильний восьмикутник
$R$ — радіус описаного кола
Довести
$a = R\sqrt{2-\sqrt{2}}$
Центральний кут: $\angle A_1OA_2 = \dfrac{360^{\circ}}{8} = 45^{\circ}$.
У трикутнику $A_1OA_2$: $OA_1 = OA_2 = R$, сторона восьмикутника $a = A_1A_2$.
За теоремою косинусів:
$a^2 = R^2 + R^2 - 2R^2\cos 45^{\circ} = 2R^2\left(1 - \cos 45^{\circ}\right)$.
$a^2 = 2R^2\left(1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2R^2\cdot\dfrac{2-\sqrt{2}}{2} = R^2(2-\sqrt{2})$.
$a = R\sqrt{2-\sqrt{2}}$.
Теорема косинусів
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$.
Для двох радіусів $b = c = R$ і кута між ними $\alpha$ дає $a^2 = 2R^2(1-\cos\alpha)$.
Значення косинуса
$\cos 45^{\circ} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Ключ — трикутник з двох радіусів. Сторона $A_1A_2$ разом із двома радіусами $OA_1$, $OA_2$ утворює рівнобедрений трикутник із кутом $45^{\circ}$ при вершині. Теорема косинусів напряму дає квадрат сторони.
Чому з'являється подвійний корінь. У формулі лишається $\cos 45^{\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Він «вкладається» всередину виразу під зовнішнім коренем, тому результат — «корінь з кореня»: $R\sqrt{2-\sqrt{2}}$.
Універсальний прийом. Так само через $a^2=2R^2(1-\cos\alpha)$ виводять сторону будь-якого правильного многокутника, підставляючи центральний кут $\alpha=\dfrac{360^{\circ}}{n}$. Для дванадцятикутника ($\alpha=30^{\circ}$) вийде $R\sqrt{2-\sqrt{3}}$.
Типова помилка. Брати кут при вершині восьмикутника ($135^{\circ}$) замість центрального ($45^{\circ}$). У трикутнику $A_1OA_2$ потрібен саме кут при центрі $O$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.