Вправа 7.25 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
7.25. Знайдіть площу круга, описаного навколо рівнобедреного трикутника з бічною стороною $b$ і кутом $\alpha$ при основі.
Дано
Рівнобедрений $\triangle ABC$, $AB = CB = b$;
$\angle A = \angle C = \alpha$;
коло, описане навколо нього, з центром $O$.
Знайти
$S$ — площу круга.
Радіус описаного кола
За теоремою синусів сторона $AB = b$ лежить проти кута $C = \alpha$:
$\dfrac{b}{\sin\alpha} = 2R \;\Rightarrow\; R = \dfrac{b}{2\sin\alpha}$.
Площа круга
$S = \pi R^2 = \pi \left(\dfrac{b}{2\sin\alpha}\right)^2 =$
$= \dfrac{\pi b^2}{4\sin^2\alpha}$.
Теорема синусів і радіус описаного кола
Для будь-якого трикутника відношення сторони до синуса протилежного кута дорівнює діаметру описаного кола:
$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R.$
Площа круга
$S = \pi R^2.$
Яку сторону і який кут брати. Зручно взяти ту пару «сторона — протилежний кут», де обидві величини відомі. Бічна сторона $b$ лежить проти кута при основі $\alpha$ (сторона $AB$ — проти кута $C$). Тому одразу $\dfrac{b}{\sin\alpha} = 2R$.
Чому не основа. Основу нам не дано, а кут при вершині довелося б рахувати як $180^{\circ}-2\alpha$. Через бічну сторону й кут при основі розв'язання коротше — без зайвих обчислень.
Акуратно з квадратом. $\left(\dfrac{b}{2\sin\alpha}\right)^2 = \dfrac{b^2}{4\sin^2\alpha}$ — у квадрат іде і двійка ($2^2=4$), і синус ($\sin^2\alpha$).
Типова помилка. Беруть бічну сторону проти кута при вершині. Сторона лежить проти того кута, який її не містить: бічна сторона $AB$ — проти кута $C$, а не проти кута $B$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.