Вправа 7.38 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
7.38. Знайдіть площу кругового сегмента, якщо радіус круга дорівнює $2$ см, а градусна міра дуги сегмента дорівнює:
- $60^{\circ}$;
- $300^{\circ}$.
$R = 2$ см. $S_{\text{сегм}} = \dfrac{\pi R^2 n}{360} - \dfrac{1}{2}R^2\sin n$.
1) $n = 60^{\circ}$
$S_{\text{сект}} = \dfrac{\pi \cdot 4 \cdot 60}{360} = \dfrac{2\pi}{3}$.
$S_{\triangle} = \dfrac{1}{2}\cdot 4 \cdot \sin 60^{\circ} = 2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
$S_{\text{сегм}} = \dfrac{2\pi}{3} - \sqrt{3}$ (см$^2$).
2) $n = 300^{\circ}$
Дуга більша за півколо, тому площу трикутника додаємо.
$S_{\text{сект}} = \dfrac{\pi \cdot 4 \cdot 300}{360} = \dfrac{10\pi}{3}$.
$\sin 300^{\circ} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, тому $S_{\text{сегм}} = \dfrac{10\pi}{3} - 2\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) =$
$= \dfrac{10\pi}{3} + \sqrt{3}$ (см$^2$).
Площа кругового сегмента
$S_{\text{сегм}} = \dfrac{\pi R^2 n}{360} - \dfrac{1}{2}R^2\sin n.$
Два сегменти однієї хорди. Дуги $60^{\circ}$ і $300^{\circ}$ спираються на одну й ту саму хорду, але це різні сегменти: малий ($60^{\circ}$) і великий ($300^{\circ}$). Їхні площі різні.
Знак синуса все вирішує. $\sin 60^{\circ} > 0$ — трикутник віднімаємо (малий сегмент). $\sin 300^{\circ} < 0$ — віднімання перетворюється на додавання (великий сегмент). Це та сама формула.
Перевірка через ціле коло. Сума двох сегментів має дорівнювати площі круга: $\left(\dfrac{2\pi}{3} - \sqrt{3}\right) + \left(\dfrac{10\pi}{3} + \sqrt{3}\right) = \dfrac{12\pi}{3} = 4\pi = \pi\cdot 2^2$ ✓.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.