Вправа 7.40 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
7.40. У круг вписано квадрат зі стороною $a$. Знайдіть площу меншого із сегментів, основою яких є сторона квадрата.
Дано
Квадрат $ABCD$ зі стороною $a$, вписаний у коло з центром $O$;
сегмент з основою — стороною $AB$.
Знайти
$S_{\text{сегм}}$ — площу меншого сегмента.
Радіус і центральний кут
Сторона квадрата стягує чверть кола, тому $\angle AOB = 90^{\circ}$.
$R^2 = \left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \dfrac{a^2}{2}$.
Сегмент = сектор − трикутник
$S_{\text{сект}} = \dfrac{\pi R^2 \cdot 90}{360} = \dfrac{\pi R^2}{4} = \dfrac{\pi a^2}{8}$.
$S_{\triangle AOB} = \dfrac{1}{2}R^2\sin 90^{\circ} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a^2}{2} = \dfrac{a^2}{4}$.
$S_{\text{сегм}} = \dfrac{\pi a^2}{8} - \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{a^2(\pi - 2)}{8}$.
Радіус кола, описаного навколо квадрата
$R = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}, \qquad R^2 = \dfrac{a^2}{2}.$
Площа сегмента
$S_{\text{сегм}} = \dfrac{\pi R^2 n}{360} - \dfrac{1}{2}R^2\sin n.$
Чому кут $90^{\circ}$. Чотири рівні сторони квадрата ділять коло на чотири рівні дуги по $\dfrac{360^{\circ}}{4} = 90^{\circ}$. Кожна сторона стягує дугу $90^{\circ}$, тому центральний кут $\angle AOB = 90^{\circ}$.
Чому «менший» сегмент. Сторона ділить круг на два сегменти: малий (зовні квадрата, дуга $90^{\circ}$) і великий (решта круга, дуга $270^{\circ}$). Питають про менший — той, що спирається на дугу $90^{\circ}$.
Трикутник прямокутний. $\triangle AOB$ має дві сторони — радіуси $R$ — і прямий кут між ними. Його площа $\dfrac{1}{2}R^2\sin 90^{\circ} = \dfrac{1}{2}R^2$, бо $\sin 90^{\circ} = 1$.
Винесення спільного множника. У відповіді $\dfrac{\pi a^2}{8} - \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{\pi a^2}{8} - \dfrac{2a^2}{8} = \dfrac{a^2(\pi-2)}{8}$ — звели до спільного знаменника $8$ і винесли $a^2$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.