Вправа 7.43 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
7.43. Сторона трикутника дорівнює $5\sqrt{3}$ см, а прилеглі до неї кути дорівнюють $35^{\circ}$ і $25^{\circ}$. Знайдіть довжини дуг, на які вершини трикутника ділять описане навколо нього коло.
Дано
$\triangle ABC$, $AB = 5\sqrt{3}$ см;
$\angle A = 35^{\circ}$, $\angle B = 25^{\circ}$;
коло, описане навколо нього.
Знайти
довжини трьох дуг $AB$, $BC$, $CA$.
Третій кут і радіус
$\angle C = 180^{\circ} - 35^{\circ} - 25^{\circ} = 120^{\circ}$.
$\dfrac{AB}{\sin C} = 2R \;\Rightarrow\; 2R = \dfrac{5\sqrt{3}}{\sin 120^{\circ}} = \dfrac{5\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 10$, $R = 5$ (см).
Градусні міри дуг
дуга $AB = 2\angle C = 240^{\circ}$;
дуга $BC = 2\angle A = 70^{\circ}$;
дуга $CA = 2\angle B = 50^{\circ}$.
Довжини дуг
$l = \dfrac{\pi R n}{180}$, де $R = 5$:
$l_{AB} = \dfrac{\pi \cdot 5 \cdot 240}{180} = \dfrac{20\pi}{3}$ (см);
$l_{BC} = \dfrac{\pi \cdot 5 \cdot 70}{180} = \dfrac{35\pi}{18}$ (см);
$l_{CA} = \dfrac{\pi \cdot 5 \cdot 50}{180} = \dfrac{25\pi}{18}$ (см).
Перевірка
$240^{\circ} + 70^{\circ} + 50^{\circ} = 360^{\circ}$ ✓.
$\dfrac{20\pi}{3} + \dfrac{35\pi}{18} + \dfrac{25\pi}{18} = \dfrac{120\pi + 35\pi + 25\pi}{18} = \dfrac{180\pi}{18} = 10\pi = 2\pi R$ ✓.
Вписаний кут і дуга
$n_{\text{дуги}} = 2\angle_{\text{вписаний}}.$
Теорема синусів і довжина дуги
$\dfrac{c}{\sin C} = 2R, \qquad l = \dfrac{\pi R n}{180}.$
Яка дуга якому куту відповідає. Дуга навпроти вершини стягується протилежною стороною і дорівнює подвоєному куту при цій вершині. Дуга $AB$ — навпроти $C$, тому $2\angle C$; так само дуга $BC = 2\angle A$, дуга $CA = 2\angle B$.
Чому дуга $AB$ найбільша. Кут $C = 120^{\circ}$ тупий, тому дуга навпроти нього — $240^{\circ}$ — більша за півколо. Це нормально: сторона $AB$ «бачиться» з тупого кута.
Зручний радіус. $\sin 120^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, і при діленні $\dfrac{5\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ корінь $\sqrt{3}$ скорочується — радіус виходить цілим $5$.
Перевірка обов'язкова. Сума дуг $= 360^{\circ}$ і сума довжин $= 2\pi R$. Обидві сходяться — розв'язання правильне.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.