Вправа 7.58 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 7.58. З листа жерсті, який має форму круга, вирізали правильний шестикутник найбільшої площі. Скільки відсотків жерсті пішло у відходи?
Дано
Круг радіуса $R$
Вписаний правильний шестикутник
Знайти
Відсоток відходів ($\%$)
1) Правильний шестикутник матиме найбільшу площу, якщо він є вписаним у даний круг. Сторона такого шестикутника дорівнює радіусу круга: $a = R$.
2) Площа початкового листа жерсті (круга):
$$S_{\text{круга}} = \pi R^2$$
3) Правильний шестикутник складається з 6 рівносторонніх трикутників зі стороною $R$. Його площа дорівнює:
$$S_{\text{шестикутника}} = 6 \cdot \dfrac{R^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}R^2$$
4) Знайдемо площу матеріалу, що пішов у відходи:
$$S_{\text{відходів}} = S_{\text{круга}} - S_{\text{шестикутника}} = \pi R^2 - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}R^2 = R^2\left(\pi - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)$$
5) Обчислимо відсоток відходів від загальної площі круга:
$$\text{Відсоток} = \dfrac{S_{\text{відходів}}}{S_{\text{круга}}} \cdot 100\% = \dfrac{R^2\left(\pi - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)}{\pi R^2} \cdot 100\% = \left(1 - \dfrac{3\sqrt{3}}{2\pi}\right) \cdot 100\%$$
6) Підставимо наближені значення $\pi \approx 3,1416$ та $\sqrt{3} \approx 1,732$:
$$\text{Відсоток} \approx \left(1 - \dfrac{3 \cdot 1,732}{2 \cdot 3,1416}\right) \cdot 100\% = \left(1 - \dfrac{5,196}{6,2832}\right) \cdot 100\% \approx$$
$$\approx (1 - 0,827) \cdot 100\% = 0,173 \cdot 100\% = 17,3\%$$
Вписаний правильний шестикутник
Площа правильного шестикутника зі стороною $a$ обчислюється як сума площ шести рівносторонніх трикутників:
$$S = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2$$
Для правильного шестикутника, вписаного в коло, радіус $R$ дорівнює його стороні ($a = R$).
У цій задачі нам потрібно визначити ефективність використання круглого листа жерсті при вирізанні з нього правильного шестикутника максимальної площі. Геометрично максимальну площу матиме той шестикутник, вершини якого лежать безпосередньо на колі, тобто вписаний шестикутник.
Уся площа, що залишається за межами шестикутника, але всередині круга, вважається відходами. Важливою особливістю задачі є те, що конкретний розмір радіуса листа $R$ не впливає на кінцевий відсотковий результат, оскільки при діленні площ квадрат радіуса $R^2$ повністю скорочується.
Кінцеве співвідношення залежить виключно від математичних констант $\pi$ та $\sqrt{3}$. Залежно від точності округлення цих констант у шкільній практиці (використання $\pi \approx 3,14$ чи точнішого значення), результат коливається в межах $17,3\% - 17,4\%$, що демонструє досить високий рівень корисного використання матеріалу (понад $82\%$).
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.