Вправа 8.26 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Доведіть, що чотирикутник $ABCD$ з вершинами в точках $A(-2;6)$, $B(-8;-2)$, $C(0;-8)$ і $D(6;0)$ є квадратом.
Дано
$A(-2;6)$, $B(-8;-2)$,
$C(0;-8)$, $D(6;0)$
Довести
$ABCD$ — квадрат
Чотирикутник $ABCD$; усі сторони рівні, діагоналі рівні.
Сторони:
$AB = \sqrt{(-8+2)^2 + (-2-6)^2} =$
$= \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.
$BC = \sqrt{(0+8)^2 + (-8+2)^2} =$
$= \sqrt{64 + 36} = 10$.
$CD = \sqrt{(6-0)^2 + (0+8)^2} =$
$= \sqrt{36 + 64} = 10$.
$DA = \sqrt{(-2-6)^2 + (6-0)^2} =$
$= \sqrt{64 + 36} = 10$.
Діагоналі:
$AC = \sqrt{(0+2)^2 + (-8-6)^2} =$
$= \sqrt{4 + 196} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$.
$BD = \sqrt{(6+8)^2 + (0+2)^2} =$
$= \sqrt{196 + 4} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$.
$AB = BC = CD = DA = 10$ і $AC = BD = 10\sqrt{2}$.
Висновок: усі сторони чотирикутника рівні (ромб), і діагоналі рівні (прямокутник). Чотирикутник, що є одночасно ромбом і прямокутником, — квадрат. Отже, $ABCD$ — квадрат, що й треба було довести.
Відстань між точками $M(x_1;y_1)$ і $N(x_2;y_2)$:
$$MN = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}.$$
Квадрат — це чотирикутник, у якого всі сторони рівні (ромб) і діагоналі рівні (прямокутник). Якщо виконано обидві умови, фігура — квадрат.
Квадрат поєднує дві властивості: він і ромб (усі сторони рівні), і прямокутник (діагоналі рівні). Тому доводимо обидві: спочатку чотири сторони (усі по $10$), потім дві діагоналі (обидві $10\sqrt{2}$).
Чому рівних сторін недостатньо? Бо ромб із нерівними діагоналями — це «приплюснутий» квадрат без прямих кутів. А рівність діагоналей якраз і гарантує прямі кути. Разом ці дві умови однозначно дають квадрат.
Корисна перевірка співвідношення: у квадраті діагональ дорівнює стороні, помноженій на $\sqrt{2}$. Тут $10\sqrt{2} = 10\cdot\sqrt{2}$ — усе сходиться.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.