Вправа 8.27 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Точки $D(1;4)$ і $E(2;2)$ — середини сторін $AC$ і $BC$ трикутника $ABC$ відповідно. Знайдіть координати вершин $A$ і $C$, якщо $B(-3;-1)$.
Поміркуйте, як не знаходячи координати вершин трикутника, можна знайти його сторону $AB$. Обговоріть це питання у класі.
Дано
$B(-3;-1)$
$D(1;4)$ — середина $AC$
$E(2;2)$ — середина $BC$
Знайти
координати $A$ і $C$
Трикутник $ABC$; $D$, $E$ — середини сторін $AC$ і $BC$, $DE$ — середня лінія.
$E$ — середина $BC$, тому $C = 2E - B$:
$x_C = 2\cdot 2 - (-3) = 7$,
$y_C = 2\cdot 2 - (-1) = 5$.
$C(7;5)$.
$D$ — середина $AC$, тому $A = 2D - C$:
$x_A = 2\cdot 1 - 7 = -5$,
$y_A = 2\cdot 4 - 5 = 3$.
$A(-5;3)$.
Відповідь: $A(-5;3)$, $C(7;5)$.
Якщо точка $M$ — середина відрізка $PQ$, то $M = \dfrac{P+Q}{2}$, звідки невідомий кінець:
$$Q = 2M - P.$$
Середня лінія трикутника сполучає середини двох сторін, паралельна третій стороні і дорівнює її половині.
Тут важливий порядок дій. Точка $E$ — середина $BC$, а вершину $B$ ми знаємо, тому одразу знаходимо $C = 2E - B$. Аж тепер, маючи $C$, можна знайти $A$ з того, що $D$ — середина $AC$: $A = 2D - C$. Спочатку обов'язково $C$, потім $A$ — інакше не вистачить даних.
Тепер про питання з умови — як знайти сторону $AB$, не знаходячи вершин? Відрізок $DE$ сполучає середини сторін $AC$ і $BC$, тобто $DE$ — це середня лінія трикутника. За властивістю середньої лінії вона дорівнює половині третьої сторони: $DE = \dfrac{1}{2}AB$, отже $AB = 2\cdot DE$. Достатньо порахувати довжину $DE$ за координатами $D$ і $E$ та подвоїти — і координати $A$, $C$ для цього не потрібні.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.