Вправа 8.35 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Знайдіть кути ромба, якщо кут між висотою та діагоналлю ромба, проведеними з однієї вершини, дорівнює $28^{\circ}$.
Нехай із вершини тупого кута ромба проведено діагональ і висоту. Діагональ ромба є бісектрисою кута, тому ділить кут вершини навпіл.
Нехай тупий кут вершини дорівнює $\beta$. Діагональ-бісектриса утворює зі стороною кут $\dfrac{\beta}{2}$.
Висота перпендикулярна до протилежної сторони, тому кут між висотою й діагоналлю:
$90^{\circ} - \dfrac{\beta}{2} = 28^{\circ}$.
$\dfrac{\beta}{2} = 90^{\circ} - 28^{\circ} = 62^{\circ}$;
$\beta = 124^{\circ}$.
Сусідній кут ромба:
$180^{\circ} - 124^{\circ} = 56^{\circ}$.
Відповідь: кути ромба $56^{\circ}$ і $124^{\circ}$.
Діагональ ромба є бісектрисою його кутів.
Сума кутів ромба, прилеглих до однієї сторони, дорівнює $180^{\circ}$ (як у будь-якому паралелограмі).
Висота ромба перпендикулярна до сторони, на яку опущена.
Ключ до задачі — дві властивості. По-перше, діагональ ромба ділить кут вершини навпіл. По-друге, висота з тієї ж вершини перпендикулярна до протилежної сторони.
Розглянемо вершину з тупим кутом $\beta$. Діагональ відхиляється від сторони на $\dfrac{\beta}{2}$, а висота — на $90^{\circ}$ від сторони (бо перпендикулярна). Кут між ними виходить $90^{\circ} - \dfrac{\beta}{2}$. Прирівнявши до $28^{\circ}$, знаходимо $\beta = 124^{\circ}$.
Корисно перевірити логіку «на око»: $28^{\circ}$ — невеликий кут, тому висота й діагональ йдуть майже поряд, а це буває при дуже «витягнутому» ромбі з тупим кутом близько $124^{\circ}$. Сходиться.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.