Вправа 9.18 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 9.18. Доведіть, що відрізок $AB$ є діаметром кола $(x-5)^2+(y+4)^2=17$, якщо $A(1;\,-5)$, $B(9;\,-3)$.
Відрізок є діаметром, якщо його кінці лежать на колі, а середина збігається з центром.
Коло: центр $O(5;\,-4)$, $R^2=17$.
$A(1;\,-5)$ на колі
$(1-5)^2+(-5+4)^2=16+1=17$. ✓
$B(9;\,-3)$ на колі
$(9-5)^2+(-3+4)^2=16+1=17$. ✓
Середина $AB$ — центр
$\left(\dfrac{1+9}{2};\,\dfrac{-5+(-3)}{2}\right)=(5;\,-4)=O$. ✓
Висновок
$A$ і $B$ лежать на колі, а середина $AB$ — це центр, отже $AB$ — діаметр.
Діаметр
Діаметр — це хорда, яка проходить через центр кола. Його кінці лежать на колі, а середина — центр.
Належність точки колу
$(x_0-a)^2+(y_0-b)^2=R^2$.
Середина відрізка
$\left(\dfrac{x_1+x_2}{2};\,\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$.
Що саме треба довести. Недостатньо показати, що $A$ і $B$ на колі — тоді $AB$ просто хорда. Діаметр має ще проходити через центр. Тому третій крок — перевірка, що середина $AB$ збігається з центром $O$ — обов'язковий.
Інший спосіб. Можна було перевірити, що довжина $AB$ дорівнює $2R$. Тут $AB=\sqrt{(9-1)^2+(-3+5)^2}=\sqrt{64+4}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$, а $2R=2\sqrt{17}$ — збігається. Але спосіб із серединою наочніший: він прямо показує, що відрізок проходить через центр.
Знаки в дужках. Для $A(1;\,-5)$: $(-5+4)=-1$, у квадраті $1$. Уважно стеж за подвійними мінусами в координаті центра $(y+4)$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.