Вправа 9.24 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 9.24. Складіть рівняння кола, яке проходить через точки $A(-4;\,1)$ і $B(8;\,5)$ і центр якого належить осі абсцис.
Центр належить осі абсцис, тому має вигляд $O(a;\,0)$. Відстані від $O$ до $A$ і до $B$ рівні (обидві дорівнюють радіусу).
Рівняння на $a$
$OA^2=OB^2$;
$(a+4)^2+1=(a-8)^2+25$;
$a^2+8a+16+1=a^2-16a+64+25$;
$8a+17=-16a+89$;
$24a=72$;
$a=3$.
Центр і радіус
Центр $O(3;\,0)$.
$R^2=(-4-3)^2+(1-0)^2=49+1=50$.
Рівняння кола
$(x-3)^2+y^2=50$.
Центр на осі абсцис
Якщо центр лежить на осі $x$, то його ордината $y=0$, тобто центр $(a;\,0)$.
Рівновіддаленість точок кола від центра
Усі точки кола однаково віддалені від центра: $OA=OB=R$.
Звідси рівняння $OA^2=OB^2$.
Як з'явилось рівняння. Невідома одна — абсциса центра $a$. Дві точки на колі дають дві однакові відстані до центра. Прирівнюємо квадрати цих відстаней — отримуємо рівняння на $a$. Квадрати $a^2$ при розкритті скорочуються, лишається звичайне лінійне рівняння.
Чому квадрати, а не самі відстані. З квадратами зникають корені — рівняння стає простішим. А оскільки відстані додатні, рівність квадратів рівносильна рівності самих відстаней.
Радіус через будь-яку точку. Знайшовши центр, радіус рахуємо як відстань до $A$ (можна й до $B$ — вийде те саме $50$, це і є перевірка). У праву частину рівняння йде $R^2=50$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.