Завдання № 1 «Перевірте себе» в тестовій формі — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк

Завдання 1

Яка з рівностей є правильною?

А) $\cos (180^{\circ} - \alpha) = \sin \alpha$;

Б) $\cos (180^{\circ} - \alpha) = \cos \alpha$;

В) $\sin (180^{\circ} - \alpha) = \cos \alpha$;

Г) $\sin (180^{\circ} - \alpha) = \sin \alpha$.

За формулами зведення: $\sin (180^{\circ} - \alpha) = \sin \alpha$.

Завдання 2

Яка з нерівностей є правильною?

А) $\sin 100^{\circ} \cos 110^{\circ} > 0$;

Б) $\sin 100^{\circ} \cos 10^{\circ} < 0$;

В) $\sin 100^{\circ} \cos 110^{\circ} < 0$;

Г) $\sin 100^{\circ} \cos 90^{\circ} > 0$.

$100^{\circ}$ — кут II чверті, тому $\sin 100^{\circ} > 0$.

$110^{\circ}$ — кут II чверті, тому $\cos 110^{\circ} < 0$.

$\sin 100^{\circ} \cos 110^{\circ} < 0$.

Завдання 3

На рисунку зображено трикутник $ABC$. Укажіть серед наведених співвідношень між сторонами та кутами трикутника $ABC$ правильне.

А) $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \sin A$;

Б) $AB^2 = AC^2 + BC^2 + 2AC \cdot BC \cos C$;

В) $\dfrac{AC}{\sin B} = \dfrac{BC}{\sin A}$;

Г) $\dfrac{AB}{\cos C} = \dfrac{AC}{\cos B}$.

За теоремою синусів: $\dfrac{AC}{\sin B} = \dfrac{BC}{\sin A}$.

Завдання 4

Чому дорівнює косинус найменшого кута трикутника зі сторонами $3$ см, $5$ см і $6$ см?

А) $\dfrac{13}{15}$;

Б) $-\dfrac{1}{15}$;

В) $\dfrac{1}{15}$;

Г) $\dfrac{11}{15}$.

Найменший кут трикутника лежить проти найменшої сторони ($3$ см).

За теоремою косинусів: $\cos \alpha = \dfrac{5^2 + 6^2 - 3^2}{2 \cdot 5 \cdot 6} =$

$= \dfrac{25 + 36 - 9}{60} = \dfrac{52}{60} = \dfrac{13}{15}$.

Завдання 5

Яким є кут, що лежить проти більшої сторони трикутника зі сторонами $4$ см, $7$ см і $9$ см?

А) Гострим;

Б) тупим;

В) прямим;

Г) установити неможливо.

Більший кут лежить проти більшої сторони ($9$ см). Нехай $c = 9$ см, $a = 4$ см, $b = 7$ см.

$c^2 = 9^2 = 81$.

$a^2 + b^2 = 4^2 + 7^2 = 16 + 49 = 65$.

$81 > 65$, тому $c^2 > a^2 + b^2$. Кут тупий.

Завдання 6

Діагоналі паралелограма дорівнюють $17$ см і $19$ см, а його сторони відносяться як $2 : 3$. Чому дорівнює периметр паралелограма?

А) $25$ см;

Б) $30$ см;

В) $40$ см;

Г) $50$ см.

Нехай сторони паралелограма $a = 2x$ см, $b = 3x$ см, $x > 0$.

За властивістю діагоналей паралелограма: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$.

$17^2 + 19^2 = 2((2x)^2 + (3x)^2)$.

$289 + 361 = 2(4x^2 + 9x^2)$.

$650 = 26x^2$.

$x^2 = 25$.

$x = 5$.

$a = 2 \cdot 5 = 10$ (см), $b = 3 \cdot 5 = 15$ (см).

$P = 2(a + b) = 2(10 + 15) = 50$ (см).

Завдання 7

Чому дорівнює відношення $AC : BC$ сторін трикутника $ABC$, якщо $\angle A = 120^{\circ}$, $\angle B = 30^{\circ}$?

А) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$;

Б) $\sqrt{3}$;

В) $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$;

Г) $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$.

За теоремою синусів: $\dfrac{AC}{\sin B} = \dfrac{BC}{\sin A}$.

$\dfrac{AC}{BC} = \dfrac{\sin B}{\sin A} = \dfrac{\sin 30^{\circ}}{\sin 120^{\circ}} =$

$= \dfrac{1}{2} : \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

Завдання 8

У трикутнику $ABC$ відомо, що $AB = 4\sqrt{2}$ см, $\angle C = 135^{\circ}$. Знайдіть діаметр кола, описаного навколо трикутника.

А) $4$ см;

Б) $8$ см;

В) $16$ см;

Г) $2$ см.

За наслідком з теореми синусів: $d = 2R = \dfrac{AB}{\sin C}$.

$d = \dfrac{4\sqrt{2}}{\sin 135^{\circ}} = \dfrac{4\sqrt{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} =$

$= 4\sqrt{2} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{2}} = 8$ (см).

Завдання 9

Площа трикутника дорівнює $48$ см$^2$, а радіус вписаного в нього кола — $4$ см. Чому дорівнює периметр трикутника?

А) $24$ см;

Б) $12$ см;

В) $16$ см;

Г) визначити неможливо.

Формула площі через радіус вписаного кола: $S = pr$, де $p$ — півпериметр.

$p = \dfrac{S}{r} = \dfrac{48}{4} = 12$ (см).

$P = 2p = 2 \cdot 12 = 24$ (см).

Завдання 10

Якого найбільшого значення може набувати площа трикутника зі сторонами $8$ см і $12$ см?

А) $96$ см$^2$;

Б) $48$ см$^2$;

В) $24$ см$^2$;

Г) установити неможливо.

За формулою площі: $S = \dfrac{1}{2}ab\sin \gamma$.

$S = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot \sin \gamma = 48\sin \gamma$.

Найбільше значення синуса кута дорівнює $1$ (при $\gamma = 90^{\circ}$).

$S_{\max} = 48 \cdot 1 = 48$ (см$^2$).

Завдання 11

Чому дорівнює площа трикутника зі сторонами $11$ см, $13$ см і $20$ см?

А) $66$ см$^2$;

Б) $132\sqrt{62}$ см$^2$;

В) $44\sqrt{31}$ см$^2$;

Г) $99$ см$^2$.

За формулою Герона: $p = \dfrac{a + b + c}{2}$.

$p = \dfrac{11 + 13 + 20}{2} = 22$ (см).

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} =$

$= \sqrt{22(22-11)(22-13)(22-20)} =$

$= \sqrt{22 \cdot 11 \cdot 9 \cdot 2} = \sqrt{11^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2} =$

$= 11 \cdot 2 \cdot 3 = 66$ (см$^2$).

Завдання 12

У трикутнику $ABC$ відомо, що $AB = 3$ см, $AC = 8$ см, $\angle A = 60^{\circ}$. Установіть відповідність між відрізками (1–3) та їхніми довжинами (А–Д).

1) За теоремою косинусів:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cos A =$

$= 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos 60^{\circ} =$

$= 9 + 64 - 48 \cdot \dfrac{1}{2} = 73 - 24 = 49$.

$BC = 7$ (см). Відповідь: 1 — В.

2) $S = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC \sin A = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \sin 60^{\circ} =$

$= 12 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ (см$^2$).

$p = \dfrac{AB + AC + BC}{2} = \dfrac{3 + 8 + 7}{2} = 9$ (см).

$r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{6\sqrt{3}}{9} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ (см). Відповідь: 2 — Б.

3) За наслідком з теореми синусів: $R = \dfrac{BC}{2\sin A}$.

$R = \dfrac{7}{2\sin 60^{\circ}} = \dfrac{7}{2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}} =$

$= \dfrac{7}{\sqrt{3}} = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$ (см). Відповідь: 3 — Д.