Завдання № 3 «Перевірте себе» в тестовій формі — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк

Завдання 1

Чому дорівнює відстань між точками $C(8; -11)$ і $D(2; -3)$?

А) $100$;

Б) $10$;

В) $\sqrt{296}$;

Г) $\sqrt{164}$.

Відстань між двома точками обчислюється за формулою:

$CD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

$CD = \sqrt{(2 - 8)^2 + (-3 - (-11))^2} =$

$= \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Завдання 2

Які координати має центр кола $(x - 5)^2 + (y + 9)^2 = 16$?

А) $(5; -9)$;

Б) $(-5; 9)$;

В) $(5; 9)$;

Г) $(-5; -9)$.

Рівняння кола має вигляд $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, де $(a; b)$ — координати центра кола.

З рівняння $(x - 5)^2 + (y - (-9))^2 = 16$ визначаємо, що центр кола має координати $(5; -9)$.

Завдання 3

Центром якого з даних кіл є початок координат?

А) $x^2 + (y - 1)^2 = 1$;

Б) $(x - 1)^2 + y^2 = 1$;

В) $x^2 + y^2 = 1$;

Г) $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$.

Рівняння кола з центром у початку координат $(0; 0)$ має вигляд $x^2 + y^2 = R^2$.

Цій умові відповідає лише рівняння В: $x^2 + y^2 = 1$.

Завдання 4

Знайдіть радіус кола, діаметром якого є відрізок $MK$, якщо $M(14; 12)$ і $K(-10; 2)$.

А) $26$;

Б) $13$;

В) $25$;

Г) $5$.

Довжина діаметра кола дорівнює відстані між точками $M$ і $K$:

$d = MK = \sqrt{(-10 - 14)^2 + (2 - 12)^2} =$

$= \sqrt{(-24)^2 + (-10)^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26$.

Радіус кола дорівнює половині діаметра:

$R = \dfrac{d}{2} = \dfrac{26}{2} = 13$.

Завдання 5

Укажіть серед поданих рівнянь рівняння прямої.

А) $x + y^2 = 4$;

Б) $2x^2 - y = 4$;

В) $x + xy + y = 4$;

Г) $x + y = 4$.

Рівняння прямої — це лінійне рівняння з двома змінними вигляду $ax + by = c$.

Серед поданих варіантів тільки рівняння Г ($x + y = 4$) є лінійним.

Завдання 6

Через точки $A(-3; 1)$ і $B(-3; -4)$ проведено пряму. Яка з наведених точок не належить прямій $AB$?

А) $M(-3; -3)$;

Б) $K(3; -3)$;

В) $D(-3; 0)$;

Г) $P(-3; 5)$.

Оскільки точки $A$ і $B$ мають однакову абсцису ($x = -3$), то пряма $AB$ паралельна осі ординат і має рівняння $x = -3$.

Усі точки, що належать цій прямій, повинні мати абсцису, яка дорівнює $-3$.

Точка $K(3; -3)$ має абсцису $x = 3 \neq -3$, тому вона не належить прямій $AB$.

Завдання 7

Які координати точки перетину прямої $5x - 3y = 15$ з віссю абсцис?

А) $(0; -5)$;

Б) $(-5; 0)$;

В) $(0; 3)$;

Г) $(3; 0)$.

Точка перетину з віссю абсцис ($Ox$) має ординату $y = 0$.

Підставимо $y = 0$ у рівняння прямої:

$5x - 3 \cdot 0 = 15$.

$5x = 15$.

$x = 3$.

Отже, координати точки перетину — $(3; 0)$.

Завдання 8

Яка з даних прямих утворює гострий кут із додатним напрямком осі абсцис?

А) $y = 5$;

Б) $x = 5$;

В) $y = 5 - 0{,}3x$;

Г) $y = 5 + 0{,}3x$.

Пряма вигляду $y = kx + b$ утворює гострий кут із додатним напрямком осі абсцис, якщо її кутовий коефіцієнт $k > 0$.

Серед поданих рівнянь лише пряма $y = 5 + 0{,}3x$ (тобто $y = 0{,}3x + 5$) має додатний кутовий коефіцієнт ($k = 0{,}3$).

Завдання 9

Чому дорівнює відстань між точкою перетину прямих $x - y = 4$ і $x + 3y = 12$ та точкою $M(1; 7)$?

А) $5$;

Б) $50$;

В) $5\sqrt{2}$;

Г) $2\sqrt{5}$.

Знайдемо точку перетину прямих, розв'язавши систему рівнянь:

$\begin{cases} x - y = 4, \\ x + 3y = 12. \end{cases}$

З першого рівняння виразимо $x = y + 4$ та підставимо у друге:

$(y + 4) + 3y = 12$.

$4y = 8$.

$y = 2$.

Тоді $x = 2 + 4 = 6$. Отже, точка перетину — $K(6; 2)$.

Відстань між точками $K(6; 2)$ і $M(1; 7)$:

$KM = \sqrt{(1 - 6)^2 + (7 - 2)^2} = \sqrt{(-5)^2 + 5^2} =$

$= \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

Завдання 10

Яким є рівняння прямої, що проходить через точку $P(-1; 6)$ паралельно прямій $y = 2x - 5$?

А) $y = 6 - 5x$;

Б) $y = 2x + 8$;

В) $y = 5x - 6$;

Г) $y = 2x - 8$.

Оскільки шукана пряма паралельна прямій $y = 2x - 5$, її кутовий коефіцієнт $k = 2$, і рівняння має вигляд $y = 2x + b$.

Підставимо координати точки $P(-1; 6)$ у це рівняння, щоб знайти $b$:

$6 = 2 \cdot (-1) + b$.

$6 = -2 + b$.

$b = 8$.

Отже, шукане рівняння прямої: $y = 2x + 8$.

Завдання 11

Чому дорівнює радіус кола $x^2 + y^2 + 14y - 12x + 78 = 0$?

А) $\sqrt{7}$

Б) $7$;

В) $14$;

Г) $\sqrt{14}$.

Виділимо квадрати двочленів у рівнянні кола:

$x^2 - 12x + y^2 + 14y + 78 = 0$.

$(x^2 - 12x + 36) - 36 + (y^2 + 14y + 49) - 49 + 78 = 0$.

$(x - 6)^2 + (y + 7)^2 - 85 + 78 = 0$.

$(x - 6)^2 + (y + 7)^2 = 7$.

Отримали рівняння кола вигляду $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, звідки $R^2 = 7$, отже $R = \sqrt{7}$.

Завдання 12

Точки $D$, $E$ і $F$ — середини сторін $AB$, $BC$ і $AC$ трикутника $ABC$ відповідно. $A(3; -2)$, $C(1; -10)$, $D(-2; 1)$. Установіть відповідність між точками (1–3) та їхніми координатами (А–Д).

1) Знайдемо координати точки $F$, яка є серединою відрізка $AC$:

$x_F = \dfrac{x_A + x_C}{2} = \dfrac{3 + 1}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$;

$y_F = \dfrac{y_A + y_C}{2} = \dfrac{-2 + (-10)}{2} = \dfrac{-12}{2} = -6$.

Отже, $F(2; -6)$ — це варіант А.

2) Знайдемо координати точки $B$. Оскільки точка $D$ є серединою $AB$:

$x_D = \dfrac{x_A + x_B}{2} \Rightarrow -2 = \dfrac{3 + x_B}{2} \Rightarrow -4 = 3 + x_B \Rightarrow x_B = -7$;

$y_D = \dfrac{y_A + y_B}{2} \Rightarrow 1 = \dfrac{-2 + y_B}{2} \Rightarrow 2 = -2 + y_B \Rightarrow y_B = 4$.

Отже, $B(-7; 4)$ — це варіант Д.

3) Знайдемо координати точки $E$, яка є серединою відрізка $BC$:

$x_E = \dfrac{x_B + x_C}{2} = \dfrac{-7 + 1}{2} = \dfrac{-6}{2} = -3$;

$y_E = \dfrac{y_B + y_C}{2} = \dfrac{4 + (-10)}{2} = \dfrac{-6}{2} = -3$.

Отже, $E(-3; -3)$ — це варіант В.