Завдання № 5 «Перевірте себе» в тестовій формі — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк

Завдання 1

При русі відрізок відображається на відрізок тієї самої довжини.

Знайдемо довжини відрізків за клітинками (нехай сторона клітинки дорівнює $1$):

$AB = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$;

$MN = 3$;

$PQ = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$;

$EF = 2$;

$DC = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.

Оскільки $AB = PQ = \sqrt{5}$, то образом відрізка $AB$ при русі може бути лише відрізок $PQ$.

Завдання 2

При русі трикутник відображається на рівний йому трикутник, тому $\triangle A_1B_1C_1 = \triangle ABC$, отже, він також рівнобедрений.

Оскільки відрізок $A_1C_1$ є образом відрізка $AC$, то кут $B_1$ є образом кута $B$. Тоді $\angle B_1 = \angle B = 110^{\circ}$.

Оскільки $\angle B_1 > 90^{\circ}$, то він є кутом при вершині рівнобедреного трикутника, а $A_1C_1$ — його основа.

Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні:

$\angle A_1 = \angle C_1 = \dfrac{180^{\circ} - 110^{\circ}}{2} = \dfrac{70^{\circ}}{2} = 35^{\circ}$.

Завдання 3

При паралельному перенесенні пряма відображається на паралельну їй пряму або саму на себе (якщо вектор перенесення паралельний цій прямій).

Оскільки на рисунку жодна з прямих $b$, $c$, $d$ не є паралельною прямій $a$, то образом прямої $a$ може бути лише сама пряма $a$.

Завдання 4

При паралельному перенесенні на вектор $\vec{a}(0; 1)$ координати кожної точки $(x; y)$ фігури змінюються за формулами:

$x' = x + 0 = x$;

$y' = y + 1 \Rightarrow y = y' - 1$.

Підставимо ці вирази у рівняння даної прямої $y = 2x$:

$y' - 1 = 2x'$.

$y' = 2x' + 1$.

Отже, рівняння образу прямої має вигляд $y = 2x + 1$.

Завдання 5

Проаналізуємо кількість осей симетрії кожної із запропонованих фігур:

А) Квадрат має чотири осі симетрії (дві проходять через середини протилежних сторін, дві — через протилежні вершини).

Б) Коло має безліч осей симетрії (будь-яка пряма, що проходить через його центр).

В) Парабола має тільки одну вісь симетрії, яка проходить через її вершину паралельно осі ординат (або збігається з нею).

Г) Відрізок має дві осі симетрії (пряма, що містить цей відрізок, і серединний перпендикуляр до нього).

Завдання 6

Точки, симетричні відносно осі абсцис ($Ox$), мають однакові абсциси та протилежні ординати.

Для точок $A(-1; y)$ і $B(x; 6)$ маємо:

$x_B = x_A \Rightarrow x = -1$;

$y_A = -y_B \Rightarrow y = -6$.

Отже, $x = -1$, $y = -6$.

Завдання 7

Проаналізуємо наведені фігури на наявність центра симетрії:

А) Трикутник — у загальному випадку не має центра симетрії.

Б) Відрізок — має центр симетрії (це його середина).

В) Трапеція — не має центра симетрії.

Г) Кут — не має центра симетрії.

Завдання 8

Проаналізуємо фігури на наявність одночасно центра та осі симетрії:

А) Рівносторонній трикутник — має 3 осі симетрії, але не має центра симетрії.

Б) Паралелограм — має центр симетрії (точка перетину діагоналей), але в загальному випадку не має осі симетрії.

В) Рівнобічна трапеція — має 1 вісь симетрії, але не має центра симетрії.

Г) Пряма — має і центр симетрії (будь-яка її точка), і осі симетрії (сама пряма, а також будь-яка пряма, перпендикулярна до неї).

Завдання 9

Точки, симетричні відносно початку координат (точки $(0; 0)$), мають протилежні координати.

Для точок $A(x; 7)$ і $B(-4; y)$ маємо:

$x_A = -x_B \Rightarrow x = -(-4) = 4$;

$y_A = -y_B \Rightarrow 7 = -y \Rightarrow y = -7$.

Отже, $x = 4$, $y = -7$.

Завдання 10

Відношення відповідних сторін подібних многокутників дорівнює коефіцієнту подібності $k$. За умовою $k = 4$.

Відношення площ подібних многокутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності ($k^2$).

$k^2 = 4^2 = 16$.

Отже, площа першого многокутника більша за площу другого в 16 разів.

Завдання 11

Подібні многокутники мають рівні відношення відповідних сторін. Тому сторони шуканого п'ятикутника також відносяться як $2 : 4 : 5 : 6 : 8$.

Нехай сторони дорівнюють $2x$, $4x$, $5x$, $6x$ і $8x$, де $x$ — коефіцієнт пропорційності.

Периметр дорівнює сумі всіх сторін:

$P = 2x + 4x + 5x + 6x + 8x = 25x$.

За умовою $P = 50$, маємо рівняння:

$25x = 50$.

$x = 2$.

Найбільша сторона п'ятикутника дорівнює $8x$:

$8 \cdot 2 = 16$ (см).

Завдання 12

Проаналізуємо кожне геометричне перетворення для точки $A$ правильного восьмикутника:

1) Симетрія відносно прямої $BF$. Пряма $BF$ проходить через центр восьмикутника $O$ і є його віссю симетрії. Оскільки точка $A$ та точка $C$ розташовані симетрично відносно діагоналі $BF$ (вони обидві сусідні з вершиною $B$), то образом точки $A$ є точка $C$. Отже, 1 — Б.

2) Симетрія відносно точки $O$. Центр правильного восьмикутника є його центром симетрії. Точка, симетрична точці $A$ відносно центра $O$, лежить на протилежному кінці діагоналі, що проходить через $A$. Протилежною до $A$ є вершина $E$. Отже, 2 — Г.

3) Поворот навколо точки $O$ на кут $45^\circ$ за годинниковою стрілкою. Оскільки восьмикутник правильний, центральний кут, що спирається на його сторону, дорівнює $360^\circ : 8 = 45^\circ$. При повороті на $45^\circ$ за годинниковою стрілкою кожна вершина переходить у сусідню за годинниковою стрілкою. Для точки $A$ такою вершиною є точка $B$. Отже, 3 — А.