Готуємося до перевірки знань § 4 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк

Завдання 1

1) Координати векторів

Координати вектора дорівнюють різниці відповідних координат його кінця та початку.

Для вектора $\overrightarrow{MK}$:

$x = 0 - (-3) = 3$;

$y = -2 - 2 = -4$.

Отже, $\overrightarrow{MK}(3; -4)$.

Для вектора $\overrightarrow{MN}$:

$x = 1 - (-3) = 4$;

$y = 1 - 2 = -1$.

Отже, $\overrightarrow{MN}(4; -1)$.

2) Модулі векторів

Модуль вектора обчислюється за формулою $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

$|\overrightarrow{MK}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

$|\overrightarrow{MN}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$.

3) Координати вектора $\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{MK} - \overrightarrow{MN}$

Знайдемо координати вектора $2\overrightarrow{MK}$, помноживши координати вектора $\overrightarrow{MK}$ на 2:

$2\overrightarrow{MK} = (2 \cdot 3; 2 \cdot (-4)) = (6; -8)$.

Знайдемо координати вектора $\overrightarrow{AB}$, віднявши від координат вектора $2\overrightarrow{MK}$ відповідні координати вектора $\overrightarrow{MN}$:

$\overrightarrow{AB} = (6 - 4; -8 - (-1)) = (2; -7)$.

4) Скалярний добуток векторів

Скалярний добуток векторів дорівнює сумі добутків їхніх відповідних координат:

$\overrightarrow{MK} \cdot \overrightarrow{MN} = 3 \cdot 4 + (-4) \cdot (-1) = 12 + 4 = 16$.

5) Косинус кута між векторами

Косинус кута обчислюється за формулою $\cos \angle(\overrightarrow{MK}, \overrightarrow{MN}) = \dfrac{\overrightarrow{MK} \cdot \overrightarrow{MN}}{|\overrightarrow{MK}| \cdot |\overrightarrow{MN}|}$:

$\cos \angle(\overrightarrow{MK}, \overrightarrow{MN}) = \dfrac{16}{5 \cdot \sqrt{17}} = \dfrac{16\sqrt{17}}{85}$.

Завдання 2

Накресліть трикутник $DEF$. Побудуйте вектор:

1) $\overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EF}$;

2) $\overrightarrow{DF} - \overrightarrow{DE}$;

3) $\overrightarrow{FD} + \overrightarrow{FE}$.

1) $\overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EF}$

За правилом трикутника сума векторів $\overrightarrow{DE}$ та $\overrightarrow{EF}$ дорівнює вектору $\overrightarrow{DF}$.

2) $\overrightarrow{DF} - \overrightarrow{DE}$

За правилом віднімання векторів, відкладених від однієї точки, різницею векторів $\overrightarrow{DF}$ та $\overrightarrow{DE}$ є вектор $\overrightarrow{EF}$.

3) $\overrightarrow{FD} + \overrightarrow{FE}$

Для додавання векторів зі спільним початком скористаємося правилом паралелограма. Добудуємо трикутник $DEF$ до паралелограма $FDK'E$. Тоді сумою векторів $\overrightarrow{FD}$ та $\overrightarrow{FE}$ буде вектор $\overrightarrow{FK'}$, що збігається з діагоналлю паралелограма.

Завдання 3

Дано вектори $\vec{m}(3; 5)$ і $\vec{n}(k; -15)$. При якому значенні $k$ вектори $\vec{m}$ і $\vec{n}$:

1) колінеарні;

2) перпендикулярні?

1) Колінеарні вектори

Вектори колінеарні, якщо їхні відповідні координати пропорційні:

$\dfrac{3}{k} = \dfrac{5}{-15}$.

$\dfrac{3}{k} = -\dfrac{1}{3}$.

$k = 3 \cdot (-3) = -9$.

2) Перпендикулярні вектори

Вектори перпендикулярні, якщо їхній скалярний добуток дорівнює нулю:

$\vec{m} \cdot \vec{n} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = 3 \cdot k + 5 \cdot (-15) = 3k - 75$.

$3k - 75 = 0$.

$3k = 75$.

$k = 25$.

Завдання 4

Медіани $AA_1$ і $BB_1$ правильного трикутника $ABC$, сторона якого дорівнює $1$, перетинаються в точці $M$. Обчисліть:

1) $\overrightarrow{AA_1} \cdot \overrightarrow{BB_1}$;

2) $\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{MA_1}$.

1) $\overrightarrow{AA_1} \cdot \overrightarrow{BB_1}$

Виразимо вектори медіан через вектори сторін $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{AC}$:

$\overrightarrow{AA_1} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$.

$\overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{AB_1} - \overrightarrow{AB} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$.

Знайдемо їхній скалярний добуток:

$\overrightarrow{AA_1} \cdot \overrightarrow{BB_1} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \cdot \left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\right) =$

$= \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}^2 + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}^2 - \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB} =$

$= \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}^2 - \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}^2$.

Оскільки $\triangle ABC$ правильний зі стороною $1$, то $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = 1$, а кут між ними дорівнює $60^{\circ}$.

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 1 \cdot 1 \cdot \cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2}$.

Підставимо ці значення:

$\overrightarrow{AA_1} \cdot \overrightarrow{BB_1} = \dfrac{1}{4} \cdot 1^2 - \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} \cdot 1^2 = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{2 - 1 - 4}{8} = -\dfrac{3}{8}$.

2) $\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{MA_1}$

За властивістю медіан трикутника точка перетину $M$ ділить їх у відношенні $2 : 1$, рахуючи від вершини.

Отже, $\overrightarrow{BM} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{BB_1}$, а $\overrightarrow{MA_1} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AA_1}$.

$\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{MA_1} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{BB_1} \cdot \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AA_1} = \dfrac{2}{9}(\overrightarrow{AA_1} \cdot \overrightarrow{BB_1})$.

Використаємо результат з попереднього пункту:

$\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{MA_1} = \dfrac{2}{9} \cdot \left(-\dfrac{3}{8}\right) = -\dfrac{6}{72} = -\dfrac{1}{12}$.

Завдання 5

На сторонах $BC$ і $CD$ паралелограма $ABCD$ позначили відповідно точки $M$ і $K$ так, що $BM : MC = 2 : 5$, $CK : KD = 3 : 4$. Виразіть вектор $\overrightarrow{MK}$ через вектори $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$ і $\overrightarrow{AD} = \vec{b}$.

За правилом додавання векторів:

$\overrightarrow{MK} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CK}$.

Оскільки $BC \parallel AD$ і $BC = AD$ (як протилежні сторони паралелограма), то $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \vec{b}$.

За умовою $BM : MC = 2 : 5$, отже, відрізок $MC$ становить $\dfrac{5}{7}$ відрізка $BC$. Тоді:

$\overrightarrow{MC} = \dfrac{5}{7}\overrightarrow{BC} = \dfrac{5}{7}\vec{b}$.

Також $CD \parallel AB$ і $CD = AB$, тому $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} = -\vec{a}$.

Оскільки $CK : KD = 3 : 4$, то відрізок $CK$ становить $\dfrac{3}{7}$ відрізка $CD$. Тоді:

$\overrightarrow{CK} = \dfrac{3}{7}\overrightarrow{CD} = -\dfrac{3}{7}\vec{a}$.

Підставимо вирази для $\overrightarrow{MC}$ та $\overrightarrow{CK}$:

$\overrightarrow{MK} = \dfrac{5}{7}\vec{b} - \dfrac{3}{7}\vec{a}$.