ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Завдання для перевірки знань до §§ 10–15

1. Виконайте множення: 1) $m(a-b+3)$; 2) $-p(x+y-4)$.

1) $m(a-b+3) = am-bm+3m$.

2) $-p(x+y-4) = -px-py+4p$.

2. Винесіть за дужки спільний множник: 1) $7a-7b$; 2) $xm+ym$.

1) $7a-7b = 7(a-b)$.

2) $xm+ym = m(x+y)$.

3. Виконайте множення: 1) $(a+2)(x-3)$; 2) $(b-5)(c-m)$.

1) $(a+2)(x-3) = ax-3a+2x-6$.

2) $(b-5)(c-m) = bc-bm-5c+5m$.

4. Перетворіть вираз на многочлен стандартного вигляду: 1) $(2x^2-x)+(3x-5)-(x^2-5)$; 2) $-2xy(x^2-3xy+y^2)$.

1) $2x^2-x+3x-5-x^2+5 = x^2+2x$.

2) $-2x^3y+6x^2y^2-2xy^3$.

5. Розкладіть многочлен на множники: 1) $9a^2-12ab$; 2) $7x-7y+ax-ay$.

1) $9a^2-12ab = 3a(3a-4b)$.

2) $(7x-7y)+(ax-ay) = 7(x-y)+a(x-y) = (x-y)(7+a)$.

6. Спростіть вираз $(x+5)(x-2)-x(x+3)$.

$(x^2-2x+5x-10) - (x^2+3x) = x^2+3x-10-x^2-3x = -10$.

7. Розв'яжіть рівняння $(2x+3)(3x-7)=x(6x-3)-17$.

$6x^2-14x+9x-21 = 6x^2-3x-17 \implies 6x^2-5x-21 = 6x^2-3x-17 \implies -5x+3x = -17+21 \implies -2x=4 \implies x=-2$.

8. Розкладіть многочлен на множники: 1) $9m^3-3m^4-27m^8$; 2) $m^2+2n-2m-mn$.

1) $3m^3(3-m-9m^5)$.

2) $(m^2-2m)+(2n-mn) = m(m-2)-n(m-2) = (m-2)(m-n)$.

9. Знайдіть чотири послідовних цілих числа, добуток двох менших з яких на 90 менший від добутку двох більших.

Нехай числа $n, n+1, n+2, n+3$. Рівняння: $(n+2)(n+3) - n(n+1) = 90 \implies (n^2+5n+6)-(n^2+n)=90 \implies 4n+6=90 \implies 4n=84 \implies n=21$. Числа: 21, 22, 23, 24.

10. Доведіть, що сума п'яти послідовних натуральних чисел ділиться на 5.

Нехай числа $n, n+1, n+2, n+3, n+4$. Їх сума: $n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4) = 5n+10 = 5(n+2)$. Оскільки сума є добутком з множником 5, вона ділиться на 5.

11. Розв'яжіть рівняння $x^2-5x=4x-20$.

$x^2-9x+20=0 \implies x(x-4)-5(x-4)=0 \implies (x-4)(x-5)=0$. Корені: $x=4, x=5$.

12. Перетворіть вираз на многочлен стандартного вигляду: 1) $(x^2-2x+5)(x^2+3x-1)$; 2) $(a+3)(a-5)(a-1)$.

1) $x^4+3x^3-x^2-2x^3-6x^2+2x+5x^2+15x-5 = x^4+x^3-2x^2+17x-5$.

2) $(a^2-2a-15)(a-1) = a^3-a^2-2a^2+2a-15a+15 = a^3-3a^2-13a+15$.