Теоретичний довідник з алгебри: 7 клас

Числовий вираз — це запис, складений із чисел, знаків арифметичних дій та дужок (наприклад, $(5+10) \cdot 2$). Буквений вираз (вираз зі змінними) — це вираз, який містить не тільки числа, а й букви (змінні) (наприклад, $3a + 2b$).

Значення числового виразу — це число, отримане в результаті виконання всіх дій. Значення буквеного виразу залежить від значень змінних, що до нього входять.

Тотожність — це рівність, яка є правильною при будь-яких допустимих значеннях змінних. Заміна одного виразу іншим, тотожно рівним йому, називається тотожним перетворенням.

Степенем числа $a$ з натуральним показником $n$ (де $n > 1$) називають добуток $n$ множників, кожен з яких дорівнює $a$. $a^n = a \cdot a \cdot ... \cdot a$ ($n$ разів). $a$ — основа, $n$ — показник. $a^1 = a$.

При множенні степенів з однаковою основою основа залишається тією самою, а показники додаються: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

При діленні степенів з однаковою основою основа залишається тією самою, а від показника діленого віднімають показник дільника: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

При піднесенні степеня до степеня основа залишається тією самою, а показники перемножуються: $(a^m)^n = a^{mn}$.

Щоб піднести добуток до степеня, потрібно кожен множник піднести до цього степеня: $(ab)^n = a^n b^n$.

Одночлен — це добуток чисел, змінних та їхніх степенів. Стандартний вигляд одночлена — це коли на першому місці стоїть числовий множник (коефіцієнт), а за ним — степені різних змінних.

При множенні одночленів їх коефіцієнти перемножуються, а степені однакових змінних додаються. При піднесенні до степеня кожен множник підносять до цього степеня.

Многочлен — це сума кількох одночленів. Подібні члени — це доданки, що мають однакову буквену частину. Зведення подібних членів — це їх додавання/віднімання.

При додаванні/відніманні многочленів потрібно розкрити дужки (змінюючи знаки при відніманні на протилежні) і звести подібні доданки.

Щоб помножити одночлен на многочлен, потрібно цей одночлен помножити на кожен член многочлена і отримані добутки додати.

Щоб помножити многочлен на многочлен, потрібно кожен член одного многочлена помножити на кожен член іншого і отримані добутки додати.

Добуток різниці двох виразів та їхньої суми дорівнює різниці квадратів цих виразів: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

• Квадрат суми: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ (квадрат першого, плюс подвоєний добуток, плюс квадрат другого).
• Квадрат різниці: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ (квадрат першого, мінус подвоєний добуток, плюс квадрат другого).

• Сума кубів: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ (добуток суми на неповний квадрат різниці).
• Різниця кубів: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ (добуток різниці на неповний квадрат суми).

Це основний спосіб, що базується на розподільній властивості множення. За дужки виносять спільний множник усіх членів многочлена.

Формули скороченого множення читають "справа наліво" для розкладання многочленів на множники.

Члени многочлена об'єднують у групи так, щоб у кожній групі можна було винести спільний множник, після чого з'являється спільний множник для всіх груп.

Часто для повного розкладання многочлена на множники потрібно послідовно застосувати кілька способів.

Рівняння — це рівність, що містить змінну. Корінь рівняння — це значення змінної, яке перетворює рівняння на правильну числову рівність.
Властивості:
1. Корені не зміняться, якщо до обох частин додати/відняти одне й те саме число.
2. Корені не зміняться, якщо обидві частини помножити/поділити на одне й те саме відмінне від нуля число.

Це рівняння виду $ax = b$, де $a$ і $b$ — числа, $x$ — змінна.
• Якщо $a \neq 0$, то $x = b/a$ (один корінь).
• Якщо $a=0$ і $b=0$, то $0x=0$ (безліч коренів).
• Якщо $a=0$ і $b \neq 0$, то $0x=b$ (коренів немає).

Це метод математичного моделювання. Етапи:
1. Складання моделі: одну з невідомих величин позначають змінною ($x$) та складають рівняння за умовою задачі.
2. Робота з моделлю: розв'язують отримане рівняння.
3. Аналіз результату: аналізують знайдений корінь на відповідність умові задачі.

Функція — це залежність, при якій кожному значенню незалежної змінної (аргументу, $x$) відповідає єдине значення залежної змінної (функції, $y$).

Область визначення — це всі можливі значення, яких може набувати аргумент $x$. Область значень — це всі значення, яких набуває функція $y$ при $x$ з області визначення.

Функцію можна задати формулою, таблицею або графічно. Графік функції — це множина всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати — відповідним значенням функції.

Це функція виду $y = kx + b$, де $k$ і $b$ — числа, $x$ — аргумент. Графіком є пряма. Для побудови достатньо знайти координати двох точок.

Це окремий випадок лінійної функції при $b=0$, тобто $y=kx$. Її графік — пряма, що проходить через початок координат (0; 0).

Коефіцієнт $k$ показує кут нахилу прямої до осі $Ox$.
• Якщо $k > 0$, функція зростає (пряма "йде вгору").
• Якщо $k < 0$, функція спадає (пряма "йде вниз").
• Якщо графіки двох лінійних функцій мають однаковий $k$, вони паралельні.

Це два або більше рівнянь, для яких потрібно знайти спільні розв'язки. Розв'язком системи є пара значень $(x; y)$, яка задовольняє кожне рівняння системи.

Полягає в тому, щоб побудувати графіки обох рівнянь в одній системі координат. Координати точки (або точок) їх перетину і є розв'язками системи. Кількість розв'язків залежить від взаємного розташування прямих (перетинаються, паралельні, збігаються).

Алгоритм: 1. Виразити одну змінну через іншу з одного рівняння. 2. Підставити отриманий вираз в інше рівняння. 3. Розв'язати отримане рівняння з однією змінною. 4. Знайти значення другої змінної.

Алгоритм: 1. Помножити одне або обидва рівняння на такі числа, щоб коефіцієнти при одній зі змінних стали протилежними. 2. Почленно додати рівняння. 3. Розв'язати отримане рівняння з однією змінною. 4. Знайти значення другої змінної.

Застосовується, коли в задачі є дві невідомі величини. Кожну позначають змінною (наприклад, $x$ та $y$) і складають два рівняння за умовою задачі, які об'єднують у систему.