Алгебра 7 клас: Теоретичний довідник

Числовий вираз — це запис, складений із чисел, знаків арифметичних дій і дужок.
Вираз зі змінними (алгебраїчний вираз) — це запис, який містить числа, змінні (позначені буквами), знаки дій і дужки.

Тотожність — це рівність, яка є правильною при будь-яких значеннях змінних, що входять до неї.

Тотожне перетворення — це заміна одного виразу іншим, тотожно рівним йому. Наприклад, зведення подібних доданків або розкриття дужок.

Степенем числа a з натуральним показником n (де n > 1) називають добуток n множників, кожен з яких дорівнює a. Записується як aⁿ, де a — основа степеня, n — показник степеня.

Для будь-якого числа a і натуральних m та n:

• Множення степенів: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
• Ділення степенів: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (при a ≠ 0, m > n)
• Піднесення степеня до степеня: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
• Піднесення добутку до степеня: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ

Одночлен — це вираз, що є добутком чисел, змінних та їхніх степенів.

Стандартний вигляд одночлена — це запис, у якому на першому місці стоїть числовий множник (коефіцієнт), а за ним — степені різних змінних.

Степінь одночлена — це сума показників степенів усіх змінних, що входять до нього.

Многочлен — це сума кількох одночленів. Одночлени, з яких складається многочлен, називають його членами.

Стандартний вигляд многочлена — це многочлен, усі члени якого записані в стандартному вигляді та серед них немає подібних доданків.

Степінь многочлена стандартного вигляду — це найбільший зі степенів одночленів, що входять до нього.

• Додавання/віднімання: розкрити дужки (змінюючи знаки при відніманні) і звести подібні доданки.
• Множення одночлена на многочлен: помножити одночлен на кожен член многочлена і отримані добутки додати.
• Множення многочлена на многочлен: кожен член одного многочлена помножити на кожен член іншого і отримані добутки додати.

• Різниця квадратів: (a - b)(a + b) = a² - b²
• Квадрат суми: (a + b)² = a² + 2ab + b²
• Квадрат різниці: (a - b)² = a² - 2ab + b²

Це означає подати його у вигляді добутку кількох многочленів (або одночлена і многочлена).

• Винесення спільного множника за дужки.
• Метод групування.
• Застосування формул скороченого множення.

Лінійним рівнянням з однією змінною називають рівняння виду ax = b, де x — змінна, a і b — деякі числа.

• Якщо до обох частин рівняння додати (або відняти) одне й те саме число, корені не зміняться.
• Якщо будь-який доданок перенести з однієї частини в іншу, змінивши його знак на протилежний, корені не зміняться.
• Якщо обидві частини рівняння помножити (або поділити) на одне й те саме відмінне від нуля число, корені не зміняться.

Функція — це правило, за допомогою якого за кожним значенням незалежної змінної (аргументу, x) можна знайти єдине значення залежної змінної (функції, y).

Область визначення — це всі значення, яких може набувати аргумент (x).
Область значень — це всі значення, яких набуває функція (y).

Графік функції — це геометрична фігура, що складається з усіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати — відповідним значенням функції.

Лінійною називають функцію, яку можна задати формулою виду y = kx + b, де x — аргумент, k і b — деякі числа.

Графіком будь-якої лінійної функції є пряма. Для її побудови достатньо знайти координати двох точок.

Якщо потрібно знайти спільні розв'язки двох або кількох рівнянь, то кажуть, що ці рівняння утворюють систему рівнянь.

• Графічний спосіб: побудувати графіки обох рівнянь і знайти координати точки їх перетину.
• Спосіб підстановки: виразити одну змінну через іншу в одному рівнянні і підставити цей вираз в інше рівняння.
• Спосіб додавання: перетворити рівняння так, щоб коефіцієнти при одній зі змінних стали протилежними числами, і почленно додати рівняння.