ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Завдання для перевірки знань до §§ 16–21

1. Перетворіть вираз на многочлен: 1) $(p+a)^2$; 2) $(c-m)(c+m)$.

1) За формулою квадрата суми: $(p+a)^2 = p^2+2pa+a^2$.

2) За формулою різниці квадратів: $(c-m)(c+m) = c^2-m^2$.

2. Розкладіть на множники: 1) $t^2-2tb+b^2$; 2) $d^2-n^2$.

1) За формулою квадрата різниці: $t^2-2tb+b^2 = (t-b)^2$.

2) За формулою різниці квадратів: $d^2-n^2 = (d-n)(d+n)$.

3. Які з рівностей є тотожностями: ...?

1) Неправильно. $(p-a)^2=p^2-2pa+a^2$.

2) Правильно. Це формула суми кубів.

3) Правильно. Це формула різниці квадратів.

4) Неправильно. $d^3-t^3=(d-t)(d^2+dt+t^2)$.

Відповідь: Тотожностями є рівності 2 і 3.

4. Перетворіть вираз на многочлен: 1) $(3a-5)^2$; 2) $(7+2b)(2b-7)$.

1) $(3a-5)^2 = (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot 5 + 5^2 = 9a^2-30a+25$.

2) $(7+2b)(2b-7) = (2b+7)(2b-7) = (2b)^2 - 7^2 = 4b^2-49$.

5. Розкладіть многочлен на множники: 1) $a^2+6a+9$; 2) $-25+36x^2$; 3) $b^3+64$; 4) $7c^2-7d^2$.

1) $a^2+6a+9 = (a+3)^2$.

2) $-25+36x^2 = 36x^2-25 = (6x-5)(6x+5)$.

3) $b^3+64 = b^3+4^3 = (b+4)(b^2-4b+16)$.

4) $7c^2-7d^2 = 7(c^2-d^2) = 7(c-d)(c+d)$.

6. Спростіть вираз $(2x+3)^2+(7-2x)(7+2x)$ та знайдіть його значення, якщо $x = -1/12$.

Спрощення: $(4x^2+12x+9) + (49-4x^2) = 12x+58$.

Підставимо $x = -1/12$: $12 \cdot (-1/12) + 58 = -1+58=57$.

7. Розв'яжіть рівняння: 1) $2x^3-50x=0$; 2) $x^3-10x^2+25x=0$.

1) $2x(x^2-25)=0 \implies 2x(x-5)(x+5)=0$. Корені: $x=0, x=5, x=-5$.

2) $x(x^2-10x+25)=0 \implies x(x-5)^2=0$. Корені: $x=0, x=5$.

8. Спростіть вираз: 1) $(-4a+3b)^2+(-4a+5b)(5b+4a)+24ab$; 2) $(a-2)(a^2+2a+4)-a(a-3)(a+3)$.

1) $(16a^2-24ab+9b^2) + (25b^2-16a^2) + 24ab = 34b^2$.

2) $(a^3-8) - a(a^2-9) = a^3-8-a^3+9a = 9a-8$.

9. Доведіть, що для будь-якого значення змінної x вираз $x^2+8x+17$ набуває лише додатних значень. Якого найменшого значення набуває цей вираз і для якого значення x?

Виділимо повний квадрат: $x^2+8x+17 = (x^2+8x+16)+1 = (x+4)^2+1$. Оскільки $(x+4)^2 \ge 0$, то $(x+4)^2+1 \ge 1$. Вираз завжди додатний. Найменше значення дорівнює 1 і досягається при $x=-4$.

10. Перетворіть вираз на многочлен: 1) $(a+3)^3$; 2) $(2m-5)^3$.

1) $(a+3)^3 = a^3+3a^2(3)+3a(3^2)+3^3 = a^3+9a^2+27a+27$.

2) $(2m-5)^3 = (2m)^3-3(2m)^2(5)+3(2m)(5^2)-5^3 = 8m^3-60m^2+150m-125$.

11. Знайдіть дві останні цифри числа $293^3-93^3$.

$293^3-93^3 = (293-93)(293^2+293 \cdot 93+93^2) = 200 \cdot (\dots)$. Оскільки один з множників 200, добуток закінчується на два нулі (00).

12. Розкладіть тричлен $x^2+6x-7$ на множники.

$x^2+6x-7 = x^2+7x-x-7 = x(x+7)-1(x+7) = (x+7)(x-1)$.