ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Завдання для перевірки знань до §§ 22–24

1. Які з даних формул задають функцію: 1) $y=x^2+x$; 2) $y=\frac{y+2}{x-1}$; 3) $y=\frac{1}{x-8}$; 4) $xy=(x-y)^2$?

1) $y=x^2+x$ - так, це функція.

2) $y=\frac{y+2}{x-1}$ - ні, не є функцією.

3) $y=\frac{1}{x-8}$ - так, це функція.

4) $xy=(x-y)^2$ - ні, не є функцією.

Відповідь: 1 і 3.

2. Чи є лінійною функція, яку задано формулою: 1) $y=3x-7$; 2) $y=x^2-5$; 3) $y=4$; 4) $y=\frac{1}{2x-4}$?

1) $y=3x-7$ - так, є лінійною.

2) $y=x^2-5$ - ні, це квадратична функція.

3) $y=4$ - так, є лінійною (горизонтальна пряма).

4) $y=\frac{1}{2x-4}$ - ні, це дробово-раціональна функція.

Відповідь: 1 і 3.

3. Укажіть значення коефіцієнтів k і l для лінійної функції, заданої формулою: 1) $y=-2x+6$; 2) $y=7,4x$.

1) Для $y=-2x+6$: $k=-2, l=6$.

2) Для $y=7,4x$: $k=7,4, l=0$.

4. Функцію задано формулою $y=-2x+7$. Знайдіть: 1) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює 5; 2) значення аргументу, якщо значення функції дорівнює 3.

1) Якщо $x=5$, то $y=-2(5)+7=-10+7=-3$.

2) Якщо $y=3$, то $3=-2x+7 \implies 2x=4 \implies x=2$.

5. Побудуйте графік функції $y=2x-5$. За графіком знайдіть: 1) значення функції для $x=4$; 2) значення аргументу, для якого $y=-3$.

Для побудови графіка знайдемо дві точки, наприклад (0; -5) і (3; 1). Проведемо через них пряму. За графіком (або обчисленням):

1) Якщо $x=4$, то $y=2(4)-5=3$.

2) Якщо $y=-3$, то $-3=2x-5 \implies 2x=2 \implies x=1$.

6. Функцію задано формулою $y=0,8x-7,2$. Не виконуючи побудови: 1) знайдіть нулі функції; 2) з'ясуйте, чи проходить графік функції через точку (10; 1).

1) $0=0,8x-7,2 \implies 0,8x=7,2 \implies x=9$. Нуль функції: $x=9$.

2) Підставимо координати точки (10; 1): $1 = 0,8(10)-7,2 \implies 1 = 8-7,2 \implies 1 = 0,8$. Рівність неправильна, отже, не проходить.

7. Знайдіть область визначення функції $y=\frac{7}{x^2-5x}$.

Знаменник не може дорівнювати нулю: $x^2-5x \ne 0 \implies x(x-5) \ne 0$. Отже, $x \ne 0$ і $x \ne 5$. Область визначення - усі числа, крім 0 і 5.

8. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій $y=-2,5x$ і $y=-5$ та знайдіть координати точки їх перетину.

Прирівняємо праві частини: $-2,5x=-5 \implies x = 2$. Координата $y$ точки перетину дорівнює -5. Точка перетину: (2; -5).

9. Знайдіть найменше значення функції $y=x^2-6x+11$.

Виділимо повний квадрат: $y=(x^2-6x+9)+2 = (x-3)^2+2$. Найменше значення $(x-3)^2$ дорівнює 0, отже, найменше значення функції $0+2=2$.

10. Функцію $y=3x-7$ задано для $-2 \le x \le 5$. Знайдіть область значень цієї функції.

Функція зростаюча. Знайдемо значення на кінцях проміжку: $y(-2)=3(-2)-7=-13$; $y(5)=3(5)-7=8$. Область значень: $[-13; 8]$.

11. Побудуйте графік функції $y = \begin{cases} 2x+6, & \text{якщо } x < 0 \\ 6-x, & \text{якщо } x \ge 0 \end{cases}$. За графіком знайдіть: ...

1) Нулі функції (де $y=0$): $x=-3$ і $x=6$.

2) Функція набуває додатних значень ($y > 0$) при $x \in (-3; 6)$.

3) Функція набуває від'ємних значень ($y < 0$) при $x \in (-\infty; -3) \cup (6; +\infty)$.