ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Завдання для перевірки знань до §§ 25–30

1. Яке з рівнянь є лінійним рівнянням з двома змінними: 1) $2x+3y=9$; 2) $2x+3y^2=9$?

Рівняння $2x+3y=9$ є лінійним, оскільки змінні x та y знаходяться в першому степені. Рівняння $2x+3y^2=9$ не є лінійним через $y^2$. Відповідь: 1).

2. Чи є розв'язком рівняння $2x+y=7$ пара чисел: 1) (3; -5); 2) (4; -1)?

1) Для (3; -5): $2(3)+(-5)=6-5=1 \ne 7$. Не є розв'язком.

2) Для (4; -1): $2(4)+(-1)=8-1=7$. Є розв'язком. Відповідь: 2).

3. Чи є розв'язком системи $\begin{cases} x+y=11, \\ x-y=3 \end{cases}$ пара чисел: 1) (6; 5); 2) (7; 4)?

1) Для (6; 5): $6+5=11$ (так), $6-5=1 \ne 3$ (ні). Не є розв'язком.

2) Для (7; 4): $7+4=11$ (так), $7-4=3$ (так). Є розв'язком. Відповідь: 2).

4. Розв'яжіть графічним способом систему рівнянь:

5. Розв'яжіть способом підстановки систему рівнянь $\begin{cases} x-3y=5, \\ 2x+y=3 \end{cases}$.

З першого рівняння: $x=5+3y$. Підставляємо в друге: $2(5+3y)+y=3 \implies 10+6y+y=3 \implies 7y=-7 \implies y=-1$. Тоді $x=5+3(-1)=2$. Відповідь: (2; -1).

6. Розв'яжіть способом додавання систему рівнянь $\begin{cases} 5x+3y=3, \\ 4x-3y=24 \end{cases}$.

Додамо рівняння: $(5x+3y)+(4x-3y)=3+24 \implies 9x=27 \implies x=3$. Підставимо в перше рівняння: $5(3)+3y=3 \implies 15+3y=3 \implies 3y=-12 \implies y=-4$. Відповідь: (3; -4).

7. Розв'яжіть систему рівнянь $\begin{cases} 2(x+3)=7y-5, \\ 6(x-3)-5(y+1)=-24 \end{cases}$.

Спрощуємо: $\begin{cases} 2x-7y=-11, \\ 6x-5y=-1 \end{cases}$. Множимо перше рівняння на -3: $\begin{cases} -6x+21y=33, \\ 6x-5y=-1 \end{cases}$. Додаємо: $16y=32 \implies y=2$. Підставляємо: $2x-7(2)=-11 \implies 2x=3 \implies x=1,5$. Відповідь: (1,5; 2).

8. За 8 зошитів і 3 блокноти заплатили 93 грн... Якими були початкові ціни?

Нехай $x$ грн - ціна зошита, $y$ грн - ціна блокнота. Система: $\begin{cases} 8x+3y=93, \\ 1,15x+0,9y=20,4 \end{cases}$. З першого рівняння $y = (93-8x)/3$. Підставляємо в друге: $1,15x+0,9(\frac{93-8x}{3})=20,4 \implies 1,15x+0,3(93-8x)=20,4 \implies 1,15x+27,9-2,4x=20,4 \implies -1,25x=-7,5 \implies x=6$. Тоді $y = (93-8 \cdot 6)/3 = 45/3 = 15$. Відповідь: Зошит – 6 грн, блокнот – 15 грн.

9. Побудуйте графік рівняння $\frac{x+2}{4} + \frac{y-3}{6} = -\frac{1}{12}$.

Домножимо на 12: $3(x+2)+2(y-3)=-1 \implies 3x+6+2y-6=-1 \implies 3x+2y=-1$. Це рівняння прямої. Виразимо y: $y=-1,5x-0,5$. Графік - пряма, що проходить, наприклад, через точки (1; -2) і (-1; 1).

10. Графік функції $y=kx+b$ проходить через точки (3; -4) і (-12; -9). Знайдіть k і b.

Складаємо систему: $\begin{cases} -4=3k+b, \\ -9=-12k+b \end{cases}$. Віднімаємо друге з першого: $5=15k \implies k=1/3$. Підставляємо: $-4=3(1/3)+b \implies -4=1+b \implies b=-5$. Відповідь: $k=1/3, b=-5$.

11. Для якого значення a система рівнянь $\begin{cases} 7x-ay=5, \\ 21x+6y=15 \end{cases}$ має безліч розв'язків?

Коефіцієнти мають бути пропорційні: $\frac{7}{21} = \frac{-a}{6} = \frac{5}{15}$. З пропорції $\frac{1}{3} = \frac{-a}{6}$ знаходимо $3(-a)=6 \implies -a=2 \implies a=-2$. Відповідь: $a=-2$.