вправа 11.98 гдз 10 клас геометрія Істер 2018
Вправа 11.98
QABC - правильний тетраедр з ребром завдовжки 12 см, М - середина QB, К - середина QC, точка N - центр кола, вписаного у трикутник ABC. Знайдіть відстань між прямими:
1) МК і NQ; 2) AQ і ВС; 3) АВ і МК.
QABC - правильний тетраедр з ребром завдовжки 12 см, М - середина QB, К - середина QC, точка N - центр кола, вписаного у трикутник ABC. Знайдіть відстань між прямими:
1) МК і NQ; 2) AQ і ВС; 3) АВ і МК.
Умова:
Відповідь - ГДЗ:
2) 
Проведемо QD ┴ ВС, AD ┴ ВС,
тоді ΔADQ - рівнобедрений, KD - висота ΔАDQ.
Отже, ВС Δ (QAD), тоді КD Δ ВС, КD - відстань між АQ і ВС.
Із ΔАВС:
AD = √АВ2-DВ2 = √122-62 = √108.
Із ΔАКD (∠К = 90°):
КD = √АD2-АК2 = √108-62 = √72 = 6√2 (см).
1)
Проведемо МТ║QN, тоді МТ - середня лінія ΔQBN.
Проведемо КР║QN,
тоді РТ - середня лінія ΔСNВ, QN║(КМТ).
Проведемо NO - висота ΔРNТ,
тоді NО - відстань від QN до РТ, а отже і до КМ.
NB = R = 12/√3 = 4√3 (см)
NT = 1/2NB = 2√3
ΔPNT - рівнобедрений
PN = NT (∠О = 90°), ОТ = 1/2РТ
NO = √NT2-ОТ2 = √(2√3)2-32 = √12-9 = √3
3)
КМ║ВС, проведемо РМ║АВ, тоді (РМК)║(АВС).
Нехай QN ∩ (РМК) = R, тоді RN - відстань між АВ і КМ.
RN = 1/2QN
Із ΔQNB:
QN = √QB2-BN2 = √122-(4√3)2 = 4√6
RN = 4√6 : 2 = 2√6 (см).
Проведемо QD ┴ ВС, AD ┴ ВС,
тоді ΔADQ - рівнобедрений, KD - висота ΔАDQ.
Отже, ВС Δ (QAD), тоді КD Δ ВС, КD - відстань між АQ і ВС.
Із ΔАВС:
AD = √АВ2-DВ2 = √122-62 = √108.
Із ΔАКD (∠К = 90°):
КD = √АD2-АК2 = √108-62 = √72 = 6√2 (см).
1)
Проведемо МТ║QN, тоді МТ - середня лінія ΔQBN.
Проведемо КР║QN,
тоді РТ - середня лінія ΔСNВ, QN║(КМТ).
Проведемо NO - висота ΔРNТ,
тоді NО - відстань від QN до РТ, а отже і до КМ.
NB = R = 12/√3 = 4√3 (см)
NT = 1/2NB = 2√3
ΔPNT - рівнобедрений
PN = NT (∠О = 90°), ОТ = 1/2РТ
NO = √NT2-ОТ2 = √(2√3)2-32 = √12-9 = √3
3)
КМ║ВС, проведемо РМ║АВ, тоді (РМК)║(АВС).
Нехай QN ∩ (РМК) = R, тоді RN - відстань між АВ і КМ.
RN = 1/2QN
Із ΔQNB:
QN = √QB2-BN2 = √122-(4√3)2 = 4√6
RN = 4√6 : 2 = 2√6 (см).
