вправа 16.53 гдз 10 клас геометрія Істер 2018
Вправа 16.53
Умова: /\
(a; b) = 45°, |a| = √2, |b| = 1. Знайдіть кут між векторами с = a + b і d = a - b.
Умова: /\
(a; b) = 45°, |a| = √2, |b| = 1. Знайдіть кут між векторами с = a + b і d = a - b.
Відповідь - ГДЗ:
Кут між веторами с і d знайдемо із формули:
\begin{equation} cos(\widehat{\vec{c};\vec{d}})=\frac{\vec{c}\cdot \vec{d}}{\vec{|c|}\cdot \vec{|d|}} \end{equation} \begin{equation} \vec{|c|}=\vec{|a}+\vec{b|}=\sqrt{\vec{(a}+\vec{b)}^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{\vec{a^{2}}+2\vec{a}\vec{b}+\vec{b^{2}}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{\vec{|a|^{2}}+2\vec{|a|}\cdot \vec{|b|}\cdot cos(\widehat{\vec{a;}\vec{b)}}+\vec{|b|^{2}}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{(\sqrt{2)^{2}}+2\cdot \sqrt{2}\cdot cos45^{\circ}+1}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{2+2\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+1}=\sqrt{5} \end{equation} \begin{equation} \vec{|d|}=\sqrt{(\vec{a}-\vec{b})^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{\vec{|a|}^{2}-2\vec{|a|}\vec{|b|}cos45^{\circ}+\vec{|b|}^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{(\sqrt{2})^{2}-2\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+1}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{3-2}=1 \end{equation} \begin{equation} \vec{c}\cdot \vec{d}=(\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-\vec{b})= \end{equation} \begin{equation} =\vec{a}^{2}-\vec{b}^{2}=\vec{|a|^{2}}-\vec{|b|}^{2}= \end{equation} \begin{equation} =(\sqrt{2})^{2}-1=2-1=1 \end{equation} \begin{equation} cos(\widehat{\vec{c;}\vec{d}})=\frac{1}{\sqrt{5}\cdot 1} \end{equation} \begin{equation} cos(\widehat{\vec{c;}\vec{d}})=\frac{\sqrt{5}}{5} \end{equation} \begin{equation} (\widehat{\vec{c;}\vec{d}})=arccos\frac{\sqrt{5}}{5} \end{equation}
\begin{equation} cos(\widehat{\vec{c};\vec{d}})=\frac{\vec{c}\cdot \vec{d}}{\vec{|c|}\cdot \vec{|d|}} \end{equation} \begin{equation} \vec{|c|}=\vec{|a}+\vec{b|}=\sqrt{\vec{(a}+\vec{b)}^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{\vec{a^{2}}+2\vec{a}\vec{b}+\vec{b^{2}}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{\vec{|a|^{2}}+2\vec{|a|}\cdot \vec{|b|}\cdot cos(\widehat{\vec{a;}\vec{b)}}+\vec{|b|^{2}}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{(\sqrt{2)^{2}}+2\cdot \sqrt{2}\cdot cos45^{\circ}+1}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{2+2\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+1}=\sqrt{5} \end{equation} \begin{equation} \vec{|d|}=\sqrt{(\vec{a}-\vec{b})^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{\vec{|a|}^{2}-2\vec{|a|}\vec{|b|}cos45^{\circ}+\vec{|b|}^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{(\sqrt{2})^{2}-2\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+1}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{3-2}=1 \end{equation} \begin{equation} \vec{c}\cdot \vec{d}=(\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-\vec{b})= \end{equation} \begin{equation} =\vec{a}^{2}-\vec{b}^{2}=\vec{|a|^{2}}-\vec{|b|}^{2}= \end{equation} \begin{equation} =(\sqrt{2})^{2}-1=2-1=1 \end{equation} \begin{equation} cos(\widehat{\vec{c;}\vec{d}})=\frac{1}{\sqrt{5}\cdot 1} \end{equation} \begin{equation} cos(\widehat{\vec{c;}\vec{d}})=\frac{\sqrt{5}}{5} \end{equation} \begin{equation} (\widehat{\vec{c;}\vec{d}})=arccos\frac{\sqrt{5}}{5} \end{equation}
