вправа 2.37 гдз 10 клас геометрія Істер 2018
Вправа 2.37
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 дорівнює 4 см. Точка М належить ребру AA1, AM = 3 см. Точка N належить ребру CC1, NC1 = 1 см. Точка К ділить ребро DD1 у відношенні 1 : 3, рахуючи від вершини D. Знайдіть відстань від точки В до лінії перетину площин KMN і ABC.
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 дорівнює 4 см. Точка М належить ребру AA1, AM = 3 см. Точка N належить ребру CC1, NC1 = 1 см. Точка К ділить ребро DD1 у відношенні 1 : 3, рахуючи від вершини D. Знайдіть відстань від точки В до лінії перетину площин KMN і ABC.
Умова:
Відповідь:
Нехай АВСDA1B1C1D1 - куб, АВ = 4 см, М ∈ АА1, АМ = 3 см, N ∈ СС1, NC1 = 1 см, К ∈ DD1, DK : KD1 = 1 : 3.
Знайдемо відстань від т. В до лінії перетину площин KNM і АВС.
МК ⊂ (AA1D1), MK ∩ AD = Q
NK ⊂ (CC1D1), NK ∩ CD = X
Q ∈ (АВС), Х ∈ (АВС), тоді QX ⊂ АВС.
Отже (KNM) ∩ (АВС) = XQ.
Тобто XQ - лінія перетину площин KNM і АВС.
Нехай BR - відстань до XQ від т. В.
ΔAMQ ∩ ΔDKQ, позначимо DQ = x, тоді AD = AD + DQ = 4 + x
AM/DK = AQ/DQ або 3/1 = (4+х)/х
4/х + 1 = 3
4/х = 2
х = 2, тобто DQ = 2 (см).
Аналогічно із подібності трикутників ΔNCX і ΔKDX знаходимо DX = 2 (см).
Тобто ΔXDQ прямокутний (∠D = 90°) рівнобедренний. Знайдемо в ньому DR.
DR = DQ • sin∠Q = 2sin45° = 2 • √2/2 = √2 (см).
Так як BD - діагональ квадрата, тому за формулою d = а√2 маємо BD = 4√2.
Отже, BR = BD + DR = 4√2 + √2 = 5√2 (см).
Відповідь: 5√2 см
