вправа 5.63 гдз 10 клас геометрія Істер 2018
Вправа 5.63
NABC правильний тетраедр, ребро якого 8 см. Точка L - точка перетину бісектрис трикутника ABC, T - середина NL. Через точку Т паралельно площині ABC проведено площину. Знайдіть площу отриманого при цьому перерізу.
NABC правильний тетраедр, ребро якого 8 см. Точка L - точка перетину бісектрис трикутника ABC, T - середина NL. Через точку Т паралельно площині ABC проведено площину. Знайдіть площу отриманого при цьому перерізу.
Умова:
Відповідь:
Нехай NАВС - правильний тетраедр, т. L - точка перетину бісектрис ΔАВС, т. Т - середина NL, АВ = 8 см.
Так як т. L - точка перетину бісектрис, то т. L - центр вписаного кола в ΔАВС.
Нехай LK - радіус цього кола.
Проведемо площину α, α║LK, тоді ТР - радійс вписаного кола в ΔА1В1С1.
ΔNLK ~ ΔNTP за двома кутами, тоді LK/TP = LN/NT.
Із ΔАВС LK = АВ/2√3 (за формулою радіуса вписаного кола r = Q/2√3)
LK = 8/2√3 = 4/√3
Так як т. Т - середина NL, то LN = 2NT, тоді
4/√3ТР = 2NT/NT, звідки ТР = 2/√3
Із ΔА1В1С1 знайдемо сторону а = 2√3r,
де а - сторона трикутника, r - радіус вписаного кола.
А1В1 = 2√3 • ТР = 2√3 • 2/√3 = 4 (см)
Так як ΔА1В1С1 - рівносторонній , то S = 1/4а2√3;
S = 1/4 • А1В12√3 = 1/4 • 16 • √3 = 4√3 (см2).
Выдповыдь: 4√3 см2
