вправа 10.43 гдз 10 клас математика Істер 2018

Вправа 10.43
Прямокутний трикутник K₁L₁M₁ з катетами 3 см і 8 см є ортогональною проекцією трикутника KLM зі сторонами 4 см, 13 см і 15 см. Знайдіть кут між площинами трикутників.

Умова:

Відповідь - ГДЗ: Нехай SΔК₁L₁М₁ - площа ΔК₁L₁М₁,
де ΔК₁L₁М₁ - ортогональна проекція ΔКLМ.
SΔКLМ - площа ΔКLМ,
тоді cosφ = SΔК₁L₁М₁ : SΔКLМ, де
φ - кут між площинами трикутників
ΔК₁L₁М₁ - прямокутний, тому
SΔК₁L₁М₁ = 1/2 • 3 • 8 = 12 (см²)
SΔКLМ = √р(р-КL)(р-LМ)(р-КМ)
р = 1/2(4 + 13 + 15) = 16 (см)
SΔКLМ = √16•(16-4)(16-13)(16-15) =
= √16•12•3•1 = 24 (см²)
cosφ = 12/24
cosφ = 1/2, тоді
φ = arccos 1/2 = 60°.
Відповідь: 60°