вправа 17.6 гдз 10 клас математика Мерзляк Номіровський 2018
Вправа 17.6
Умова:
Умова:
Розв'яжіть рівняння.
ГДЗ:
\begin{equation} 1)4 \sin^{2} x+8 \cos x+1=0; \end{equation} \begin{equation} 4(1- \cos^{2} x)+8 \cos x+1=0; \end{equation} \begin{equation} 4-4 \cos^{2} x+8 \cos x+1=0; \end{equation} \begin{equation} -4 \cos^{2} x+8 \cos x+5=0; \end{equation} \begin{equation} -4 \cos^{2} x-8 \cos x-5=0. \end{equation} Заміна: cos x = t. \begin{equation} 4t^{2}-8t-5=0; \end{equation} \begin{equation} D=(-8)^{2}-4 \cdot 4 \cdot 5=144; \end{equation} \begin{equation} \sqrt{D}=12; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{8+12}{2 \cdot 4}=2,5; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{8-12}{2 \cdot 4}=-\frac{1}{2}. \end{equation} Обернена заміна:
cos x = 2,5; коренів немає; \begin{equation} \cos x=-\frac{1}{2}; \end{equation} \begin{equation} x= \pm \left ( \pi - \arccos \frac{1}{2} \right )+ \end{equation} \begin{equation} +2\pi , n \in Z; \end{equation} \begin{equation} x= \pm \frac{2 \pi}{3}+2\pi n, n \in Z. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} \pm \frac{2 \pi}{3}+2\pi n, n \in Z. \end{equation} \begin{equation} 2) 2(1-\sin^{2} x)-1- \sin x=0; \end{equation} \begin{equation} 2-2 \sin^{2} x-1-\sin x=0; \end{equation} \begin{equation} -2 \sin^{2}- \sin x+1=0 \mid : (-1); \end{equation} \begin{equation} 2 \sin^{2} x+\sin x-1=0. \end{equation} Заміна: sin x = t. \begin{equation} 2t^{2}+t-1=0; \end{equation} \begin{equation} D=1^{2}-4 \cdot 2 \cdot (-1)=9; \end{equation} \begin{equation} \sqrt{D}=3; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{-1-3}{2 \cdot 2}=-1; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{-1+3}{2 \cdot 2}=\frac{1}{2}. \end{equation} Обернена заміна: \begin{equation} \sin x=-1; \end{equation} \begin{equation} x=-\frac{\pi }{2}+2 \pi n, n \in Z; \end{equation} \begin{equation} \sin x=\frac{1}{2}; \end{equation} \begin{equation} x=(-1)^{k}\frac{\pi }{6}+2 \pi k, k \in Z. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} -\frac{\pi }{2}+2 \pi n; \end{equation} \begin{equation} (-1)^{k}\frac{\pi }{6}+2 \pi k, n, k \in Z. \end{equation} \begin{equation} 3)1-2 \sin^{2} x+8 \sin x-3=0; \end{equation} \begin{equation} -2 \sin x-3=0; \end{equation} \begin{equation} -2 \sin^{2} x+8 \sin x-2=0 \mid :(-2); \end{equation} \begin{equation} \sin^{2} x-4 \sin x+1=0. \end{equation} Заміна:sin x = t. \begin{equation} t^{2}-4t+1=0; \end{equation} \begin{equation} D=16-4=12; \end{equation} \begin{equation} \sqrt{D}=2\sqrt{3}; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}= \end{equation} \begin{equation} =2+\sqrt{3}; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=2-\sqrt{3}. \end{equation} Обернена заміна: \begin{equation} \sin x=2+\sqrt{3}; \end{equation} коренів немає \begin{equation} \left ( 2+\sqrt{3} > 1 \right ); \end{equation} \begin{equation} \sin x=2-\sqrt{3}; \end{equation} \begin{equation} x=(-1)^{n} \arcsin \left ( 2-\sqrt{3} \right )+ \end{equation} \begin{equation} +\pi n, n \in Z. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} (-1)^{n} \arcsin \left ( 2-\sqrt{3} \right )+ \end{equation} \begin{equation} +\pi n, n \in Z. \end{equation} \begin{equation} 4)(2 \cos^{2} x-1)+(1-\cos^{2} x)- \end{equation} \begin{equation} -\cos x=0; \end{equation} \begin{equation} 2 \cos^{2} x-1+1- \cos^{2} x- \end{equation} \begin{equation} -\cos x=0; \end{equation} \begin{equation} \cos^{2} x- \cos x=0; \end{equation} \begin{equation} \cos x(\cos x-1)=0; \end{equation} \begin{equation} \cos =0 або \cos x-1=0; \end{equation} \begin{equation} x=\frac{\pi }{2}+\pi n, n \in Z, \: \end{equation} \begin{equation} або x=2 \pi k, k \in Z \end{equation} Відповідь: \begin{equation} \frac{\pi }{2}+\pi n; 2 \pi k, n, k \in Z. \end{equation} \begin{equation} 5)5\sin \frac{x}{6}+\left ( 1-\cos \frac{x}{3} \right )+ \end{equation} \begin{equation} +2=0; \end{equation} \begin{equation} 5 \sin \frac{x}{6}+2 \sin^{2} \frac{x}{6}+ \end{equation} \begin{equation} +2=0. \end{equation} Заміна: \begin{equation} \sin \frac{x}{6}=t. \end{equation} \begin{equation} 2t^{2}+5t+2=0; \end{equation} \begin{equation} D=5^{2}-4 \cdot 2 \cdot 2=9; \end{equation} \begin{equation} \sqrt{D}=3; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{-5-3}{2 \cdot 2}=-2; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{-5+3}{2 \cdot 2}=-\frac{1}{2}; \end{equation} Обернена заміна: \begin{equation} \sin \frac{x}{6}=-2; \end{equation} коренів немає; \begin{equation} \sin \frac{x}{6}=-\frac{1}{2}; \end{equation} \begin{equation} \frac{x}{6}=(-1)^{n+1}\frac{\pi }{6}+ \end{equation} \begin{equation} +\pi n, n \in Z; \end{equation} \begin{equation} x=(-1)^{n+1}\pi +6 \pi n, n \in Z; \end{equation} Відповідь: \begin{equation} (-1)^{n+1}\pi +6 \pi n, n \in Z. \end{equation} \begin{equation} 6)1-2 \sin^{2} \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}=0; \end{equation} \begin{equation} -2 \sin^{2}\frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}+1=0; \end{equation} \begin{equation} 2 \sin^{2}\frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}-1=0. \end{equation} Заміна: \begin{equation} \sin \frac{x}{2}=t. \end{equation} \begin{equation} 2t^{2}-t-1=0; \end{equation} \begin{equation} D=1-4 \cdot 2 \cdot (-1)=9; \end{equation} \begin{equation} \sqrt{D}=3; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{1+3}{2 \cdot 2}=1; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{1+3}{2 \cdot 2}=-1. \end{equation} Обернена заміна: \begin{equation} \sin \frac{x}{2}=1; \end{equation} \begin{equation} \frac{x}{2}=\frac{\pi }{2}+2 \pi n, n \in Z; \end{equation} \begin{equation} x= \pi +4 \pi n, n \in Z; \end{equation} \begin{equation} \sin \frac{x}{2}=-\frac{1}{2}; \end{equation} \begin{equation} \frac{x}{2}=(-1)^{k}\frac{\pi }{6}+ \end{equation} \begin{equation} +2 \pi k, k \in Z; \end{equation} \begin{equation} x=(-1)^{k+1}\frac{\pi }{3}+ \end{equation} \begin{equation} +2 \pi k, k \in Z; \end{equation} Відповідь: \begin{equation} \pi +4 \pi n; \end{equation} \begin{equation} (-1)^{k+1}\frac{\pi }{3}+ \end{equation} \begin{equation} +2 \pi k, n, k \in Z. \end{equation}
\begin{equation} 1)4 \sin^{2} x+8 \cos x+1=0; \end{equation} \begin{equation} 4(1- \cos^{2} x)+8 \cos x+1=0; \end{equation} \begin{equation} 4-4 \cos^{2} x+8 \cos x+1=0; \end{equation} \begin{equation} -4 \cos^{2} x+8 \cos x+5=0; \end{equation} \begin{equation} -4 \cos^{2} x-8 \cos x-5=0. \end{equation} Заміна: cos x = t. \begin{equation} 4t^{2}-8t-5=0; \end{equation} \begin{equation} D=(-8)^{2}-4 \cdot 4 \cdot 5=144; \end{equation} \begin{equation} \sqrt{D}=12; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{8+12}{2 \cdot 4}=2,5; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{8-12}{2 \cdot 4}=-\frac{1}{2}. \end{equation} Обернена заміна:
cos x = 2,5; коренів немає; \begin{equation} \cos x=-\frac{1}{2}; \end{equation} \begin{equation} x= \pm \left ( \pi - \arccos \frac{1}{2} \right )+ \end{equation} \begin{equation} +2\pi , n \in Z; \end{equation} \begin{equation} x= \pm \frac{2 \pi}{3}+2\pi n, n \in Z. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} \pm \frac{2 \pi}{3}+2\pi n, n \in Z. \end{equation} \begin{equation} 2) 2(1-\sin^{2} x)-1- \sin x=0; \end{equation} \begin{equation} 2-2 \sin^{2} x-1-\sin x=0; \end{equation} \begin{equation} -2 \sin^{2}- \sin x+1=0 \mid : (-1); \end{equation} \begin{equation} 2 \sin^{2} x+\sin x-1=0. \end{equation} Заміна: sin x = t. \begin{equation} 2t^{2}+t-1=0; \end{equation} \begin{equation} D=1^{2}-4 \cdot 2 \cdot (-1)=9; \end{equation} \begin{equation} \sqrt{D}=3; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{-1-3}{2 \cdot 2}=-1; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{-1+3}{2 \cdot 2}=\frac{1}{2}. \end{equation} Обернена заміна: \begin{equation} \sin x=-1; \end{equation} \begin{equation} x=-\frac{\pi }{2}+2 \pi n, n \in Z; \end{equation} \begin{equation} \sin x=\frac{1}{2}; \end{equation} \begin{equation} x=(-1)^{k}\frac{\pi }{6}+2 \pi k, k \in Z. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} -\frac{\pi }{2}+2 \pi n; \end{equation} \begin{equation} (-1)^{k}\frac{\pi }{6}+2 \pi k, n, k \in Z. \end{equation} \begin{equation} 3)1-2 \sin^{2} x+8 \sin x-3=0; \end{equation} \begin{equation} -2 \sin x-3=0; \end{equation} \begin{equation} -2 \sin^{2} x+8 \sin x-2=0 \mid :(-2); \end{equation} \begin{equation} \sin^{2} x-4 \sin x+1=0. \end{equation} Заміна:sin x = t. \begin{equation} t^{2}-4t+1=0; \end{equation} \begin{equation} D=16-4=12; \end{equation} \begin{equation} \sqrt{D}=2\sqrt{3}; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}= \end{equation} \begin{equation} =2+\sqrt{3}; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=2-\sqrt{3}. \end{equation} Обернена заміна: \begin{equation} \sin x=2+\sqrt{3}; \end{equation} коренів немає \begin{equation} \left ( 2+\sqrt{3} > 1 \right ); \end{equation} \begin{equation} \sin x=2-\sqrt{3}; \end{equation} \begin{equation} x=(-1)^{n} \arcsin \left ( 2-\sqrt{3} \right )+ \end{equation} \begin{equation} +\pi n, n \in Z. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} (-1)^{n} \arcsin \left ( 2-\sqrt{3} \right )+ \end{equation} \begin{equation} +\pi n, n \in Z. \end{equation} \begin{equation} 4)(2 \cos^{2} x-1)+(1-\cos^{2} x)- \end{equation} \begin{equation} -\cos x=0; \end{equation} \begin{equation} 2 \cos^{2} x-1+1- \cos^{2} x- \end{equation} \begin{equation} -\cos x=0; \end{equation} \begin{equation} \cos^{2} x- \cos x=0; \end{equation} \begin{equation} \cos x(\cos x-1)=0; \end{equation} \begin{equation} \cos =0 або \cos x-1=0; \end{equation} \begin{equation} x=\frac{\pi }{2}+\pi n, n \in Z, \: \end{equation} \begin{equation} або x=2 \pi k, k \in Z \end{equation} Відповідь: \begin{equation} \frac{\pi }{2}+\pi n; 2 \pi k, n, k \in Z. \end{equation} \begin{equation} 5)5\sin \frac{x}{6}+\left ( 1-\cos \frac{x}{3} \right )+ \end{equation} \begin{equation} +2=0; \end{equation} \begin{equation} 5 \sin \frac{x}{6}+2 \sin^{2} \frac{x}{6}+ \end{equation} \begin{equation} +2=0. \end{equation} Заміна: \begin{equation} \sin \frac{x}{6}=t. \end{equation} \begin{equation} 2t^{2}+5t+2=0; \end{equation} \begin{equation} D=5^{2}-4 \cdot 2 \cdot 2=9; \end{equation} \begin{equation} \sqrt{D}=3; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{-5-3}{2 \cdot 2}=-2; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{-5+3}{2 \cdot 2}=-\frac{1}{2}; \end{equation} Обернена заміна: \begin{equation} \sin \frac{x}{6}=-2; \end{equation} коренів немає; \begin{equation} \sin \frac{x}{6}=-\frac{1}{2}; \end{equation} \begin{equation} \frac{x}{6}=(-1)^{n+1}\frac{\pi }{6}+ \end{equation} \begin{equation} +\pi n, n \in Z; \end{equation} \begin{equation} x=(-1)^{n+1}\pi +6 \pi n, n \in Z; \end{equation} Відповідь: \begin{equation} (-1)^{n+1}\pi +6 \pi n, n \in Z. \end{equation} \begin{equation} 6)1-2 \sin^{2} \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}=0; \end{equation} \begin{equation} -2 \sin^{2}\frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}+1=0; \end{equation} \begin{equation} 2 \sin^{2}\frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}-1=0. \end{equation} Заміна: \begin{equation} \sin \frac{x}{2}=t. \end{equation} \begin{equation} 2t^{2}-t-1=0; \end{equation} \begin{equation} D=1-4 \cdot 2 \cdot (-1)=9; \end{equation} \begin{equation} \sqrt{D}=3; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{1+3}{2 \cdot 2}=1; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{1+3}{2 \cdot 2}=-1. \end{equation} Обернена заміна: \begin{equation} \sin \frac{x}{2}=1; \end{equation} \begin{equation} \frac{x}{2}=\frac{\pi }{2}+2 \pi n, n \in Z; \end{equation} \begin{equation} x= \pi +4 \pi n, n \in Z; \end{equation} \begin{equation} \sin \frac{x}{2}=-\frac{1}{2}; \end{equation} \begin{equation} \frac{x}{2}=(-1)^{k}\frac{\pi }{6}+ \end{equation} \begin{equation} +2 \pi k, k \in Z; \end{equation} \begin{equation} x=(-1)^{k+1}\frac{\pi }{3}+ \end{equation} \begin{equation} +2 \pi k, k \in Z; \end{equation} Відповідь: \begin{equation} \pi +4 \pi n; \end{equation} \begin{equation} (-1)^{k+1}\frac{\pi }{3}+ \end{equation} \begin{equation} +2 \pi k, n, k \in Z. \end{equation}