вправа 24.2 гдз 10 клас математика Мерзляк Номіровський 2018

 
Вправа 24.2


Умова:
 
 
Знайдіть найбільше і найменше значення функції f на вказаному проміжку.


Відповідь ГДЗ:

\begin{equation} 1){f}'(x)=\frac{1}{3} \cdot 3x^{2}-4= \end{equation} \begin{equation} =x^{2}-4=(x-2)(x+2); \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0; \end{equation} \begin{equation} (x-2)(x+2)=0; \end{equation} \begin{equation} x=2, x=-2. \end{equation} З двох критичних точок відрізку [0; 3] належить тільки х = 2. \begin{equation} f(0)=0; \end{equation} \begin{equation} f(2)=\frac{1}{3} \cdot 2^{3}-4 \cdot 2= \end{equation} \begin{equation} =\frac{8}{3}-8=2\frac{2}{3}-8= \end{equation} \begin{equation} =-5\frac{1}{3}; \end{equation} \begin{equation} f(3)=\frac{1}{3} \cdot 3^{3}-4 \cdot 3= \end{equation} \begin{equation} =\frac{27}{3}-12= \end{equation} \begin{equation} =9-12=-3; \end{equation} \begin{equation} \underset{[0;3]}{\max} f(x)=f(0)=0; \end{equation} \begin{equation} \underset{[0;8]}{\min} f(x)=f(2)=-5\frac{1}{3}. \end{equation} \begin{equation} 2){f}'(x)=1-3x^{2}-2x; \end{equation} \begin{equation} -3x^{2}-2x+1=0; \end{equation} \begin{equation} 3x^{2}+2x-1=0; \end{equation} \begin{equation} D=4-4 \cdot 3 \cdot (-1)= \end{equation} \begin{equation} =4+12=16; \end{equation} \begin{equation} x=\frac{-2+4}{6}=\frac{2}{3} \end{equation} або \begin{equation} x=\frac{-2-4}{6}=-1. \end{equation} Відрізку [-2; 0] належить критична точка х = -1. \begin{equation} f(-1)=-1-1- \end{equation} \begin{equation} -(-1)^{3}-(-1)^{2}= \end{equation} \begin{equation} =-1-1+1-1=-2; \end{equation} \begin{equation} f(-2)=-2-1- \end{equation} \begin{equation} -(-2)^{3}-(-2)^{2}= \end{equation} \begin{equation} =-2-1+8-4=1; \end{equation} \begin{equation} f(0)=0-1-0-0=-1; \end{equation} \begin{equation} \underset{[-2;0]}{\max} f(x)=f(-2)=1; \end{equation} \begin{equation} \underset{[-2;0]}{\min} f(x)=f(-1)=-2; \end{equation} \begin{equation} 3){f}'(x)=2 \cdot 4x^{3}-8= \end{equation} \begin{equation} =8x^{3}-8=8(x^{3}-1)= \end{equation} \begin{equation} =8(x-1)(x^{3}+x+1). \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0, \end{equation} якщо \begin{equation} (x-1)(x^{2}+x+1)=0, \end{equation} тобто при х = 1, бо \begin{equation} x^{2}+x+1 \end{equation} не дорівнює нулю ні за якого значення х. \begin{equation} f(-2)=2 \cdot (-2)^{4}-8 \cdot (-2)= \end{equation} \begin{equation} =32+16=48; \end{equation} \begin{equation} f(1)=2 \cdot 1^{4}-8 \cdot 1= \end{equation} \begin{equation} =2-8=-6; \end{equation} \begin{equation} \underset{[-2;1]}{\max} f(x)=f(-2)=48; \end{equation} \begin{equation} \underset{[-2;1]}{\min} f(x)=f(1)=-6; \end{equation} \begin{equation} 4){f}'(x)=x^{2}-16x; \end{equation} \begin{equation} f(x)=0 \end{equation} якщо \begin{equation} x^{2}-16x=0; \end{equation} \begin{equation} x(x^{2}-16)=0; \end{equation} \begin{equation} x(x-4)(x+4)=0; \end{equation} х = 0 або х = 4 або х = -4.
Заданному відрізку [-1; 2] належить тільки критична точка х = 0. \begin{equation} f(-1)=\frac{(-1)^{4}}{4}-8 \cdot (-1)^{2}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{4}-8=-7\frac{3}{4}; \end{equation} \begin{equation} {f}'(0)=0; \end{equation} \begin{equation} f(2)=\frac{2^{4}}{4}-8 \cdot 2^{2}= \end{equation} \begin{equation} =4-32=-28; \end{equation} \begin{equation} \underset{[-1;2]}{\max} f(x)=f(0)=0; \end{equation} \begin{equation} \underset{[-1;2]}{\min} f(x)=f(2)=-28. \end{equation}