вправа 24.3 гдз 10 клас математика Мерзляк Номіровський 2018
Вправа 24.3
Умова:
Умова:
Подайте число 8 у вигляді суми двох таких невід'ємних чисел, щоб добуток одного із цих чисел і куба другого числа був найбільшим.
ГДЗ:
Нехай перше число дорівнює х, тоді друге дорівнює 8 - x.
З умови випливає, що \begin{equation} 0 \leq x \leq 8. \end{equation} Розглянемо функцію \begin{equation} f(x)=x^{8} \cdot (8-x) \end{equation} визначену на відрізку [0; 8] і знайдемо, при якому значенні х вона набуває найбільшого значення. \begin{equation} f(x)=8x^{3}-x^{4}; \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=24x^{2}-4x^{3}= \end{equation} \begin{equation} =4x^{2}(6-x). \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0, \end{equation} x = 0 або x = 6.
Обидва знайденні числа належать проміжку [0; 8]. \begin{equation} f(0)=0 \cdot (8-0)=0; \end{equation} \begin{equation} f(8)=8^{3} \cdot (8-8)=0; \end{equation} \begin{equation} f(6)=6^{3} \cdot (8-6)=432; \end{equation} \begin{equation} \underset{[0,8]}{\max}f(x)=f(6)432. \end{equation} Отже, перше число 6, тоді друге -2.
Відповідь: 8 = 6 + 2.
Нехай перше число дорівнює х, тоді друге дорівнює 8 - x.
З умови випливає, що \begin{equation} 0 \leq x \leq 8. \end{equation} Розглянемо функцію \begin{equation} f(x)=x^{8} \cdot (8-x) \end{equation} визначену на відрізку [0; 8] і знайдемо, при якому значенні х вона набуває найбільшого значення. \begin{equation} f(x)=8x^{3}-x^{4}; \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=24x^{2}-4x^{3}= \end{equation} \begin{equation} =4x^{2}(6-x). \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0, \end{equation} x = 0 або x = 6.
Обидва знайденні числа належать проміжку [0; 8]. \begin{equation} f(0)=0 \cdot (8-0)=0; \end{equation} \begin{equation} f(8)=8^{3} \cdot (8-8)=0; \end{equation} \begin{equation} f(6)=6^{3} \cdot (8-6)=432; \end{equation} \begin{equation} \underset{[0,8]}{\max}f(x)=f(6)432. \end{equation} Отже, перше число 6, тоді друге -2.
Відповідь: 8 = 6 + 2.