вправа 26.29 гдз 10 клас математика Мерзляк Номіровський 2018

 
Вправа 26.29


Умова:
 
 
Розв'яжіть рівняння.


ГДЗ:

\begin{equation} 1)2 \cos^{2} x=3 \sin x+2; \end{equation} \begin{equation} 2(1-\sin^{2} x)-3 \sin x-2=0; \end{equation} \begin{equation} 2-2 \sin^{2} x-3 \sin x-2=0; \end{equation} \begin{equation} 2 \sin^{2} x+3 \sin x=0; \end{equation} \begin{equation} \sin x (2 \sin x+3)=0; \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \sin x=0; \\ 2 \sin x+3=0; \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} x=\pi n, n \in Z; \\ \sin x=-1,5; \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} x=\pi, n \in Z; \\ коренів \\ немає. \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: \begin{equation} \pi n, n \in Z. \end{equation} \begin{equation} 2) \cos 2x+\sin x=0; \end{equation} \begin{equation} 1-2 \sin^{2} x+ \sin x=0; \end{equation} \begin{equation} 2 \sin^{2} x- \sin x-1=0. \end{equation} Заміна: \begin{equation} \sin x=1, t \in [-1;1]. \end{equation} \begin{equation} 2t^{2}-t-1=0; \end{equation} \begin{equation} D=9; \end{equation} \begin{equation} t_{1,2}=\frac{1 \pm 3}{4}; \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} t_{1}=1; \\ t_{2}=-\frac{1}{2}; \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \sin x=1; \\ \sin x=-\frac{1}{2}; \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} x=\frac{\pi}{2}+2 \pi n, n \in Z; \\ x=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+\pi k, k \in Z; \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: \begin{equation} \frac{\pi}{2}+2 \pi n, n \in Z; \end{equation} \begin{equation} (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+\pi k, k \in Z; \end{equation} \begin{equation} 3)2 \cos 2x-3 \cos x+2=0; \end{equation} \begin{equation} 2(2 \cos^{2} x-1)-3 \cos x+2=0; \end{equation} \begin{equation} 4 \cos^{2} x-2-3 \cos x+2=0; \end{equation} \begin{equation} 4 \cos^{2} x-3 \cos x=0; \end{equation} \begin{equation} \cos x(4 \cos x-3)=0; \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \cos x=0; \\ 4 \cos x-3=0; \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} x=\frac{\pi}{2}+2 \pi n, n \in Z; \\ \cos x=\frac{3}{4} \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} x=\frac{\pi}{2}+2 \pi n, n \in Z; \\ x= \pm \arccos \frac{3}{4}+2 \pi k, k \in Z. \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: \begin{equation} \frac{\pi}{2}+2 \pi n, n \in Z; \end{equation} \begin{equation} \pm \arccos \frac{3}{4}+2 \pi k, k \in Z. \end{equation} \begin{equation} 4)3 \, tg^{2} \, x-8 \cos^{2} x+1=0; \end{equation} ОДЗ \begin{equation} x \neq \frac{\pi}{2}+ \pi n, n \in Z. \end{equation} \begin{equation} 3 \, tg^{2} \, x-\frac{8}{1+tg^{2} \, x}+1=0; \end{equation} \begin{equation} \frac{3 \, tg^{2} \, x+3 \, tg^{4} \, x-8+1+ tg^{2} \, x}{1+tg^{2} \, x}=0; \end{equation} \begin{equation} \frac{3 \, tg^{4} \, x+4\, tg^{2} \, x-7}{1+tg^{2} \, x}=0; \end{equation} \begin{equation} 3 \, tg^{4} \, x+4 \, tg^{2} \, x-7=0. \end{equation} Заміна: \begin{equation} tg^{2} \, x=t, t \geq 0. \end{equation} \begin{equation} 3t^{2}+4t-7=0; \end{equation} \begin{equation} D=100; \end{equation} \begin{equation} t_{1,2}=\frac{-4 \pm 10}{6}; \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} t_{1}=1; \\ t_{2}=-\frac{7}{3}; \end{bmatrix} -\frac{7}{3} \end{equation} - не задовільняє \begin{equation} t \geq 0; \end{equation} \begin{equation} tg^{2} \, x=1; \begin{bmatrix} tg \, x=1; \\ tg \, x=-1; \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} x=\frac{\pi}{4}+ \pi k, k \in Z; \\ x=-\frac{\pi}{4}+ \pi m, m \in Z. \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: \begin{equation} \frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}, k \in Z. \end{equation} \begin{equation} 5) \sin x+2 \cos x=0; \end{equation} \begin{equation} tg \, x+2=0;tg \, x=-2; \end{equation} \begin{equation} x=-arctg \, 2+ \pi n, n \in Z. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} -arctg \, 2+\pi n, n \in Z. \end{equation} \begin{equation} 6) \sin 2x=\cos^{4} \frac{x}{2}-\sin^{4} \frac{x}{2}; \end{equation} \begin{equation} \sin 2x=\left ( \cos^{2}\frac{x}{2}-\sin^{2}\frac{x}{2} \right ) \end{equation} \begin{equation} \left ( \cos^{2}\frac{x}{2}+\sin^{2}\frac{x}{2} \right ); \end{equation} \begin{equation} 2 \sin x \cos x=\cos x \cdot 1; \end{equation} \begin{equation} 2 \sin x \cos x- \cos x=0; \end{equation} \begin{equation} \cos x(2 \sin x-1)=0; \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \cos x=0, \\ 2 \sin x-1=0; \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \cos x=0, \\ \sin x=\frac{1}{2}; \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} x=\frac{\pi}{2}+ \pi n, n \in Z, \\ x=(-1)^{k}\frac{\pi}{6}+ \pi k, k \in Z. \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: \begin{equation} \frac{\pi}{2}+ \pi n, n \in Z, \end{equation} \begin{equation} (-1)^{k}\frac{\pi}{6}+ \pi k, k \in Z. \end{equation}