вправа 26.29 гдз 10 клас математика Мерзляк Номіровський 2018
Вправа 26.29
Умова:
Умова:
Розв'яжіть рівняння.
ГДЗ:
\begin{equation}
1)2 \cos^{2} x=3 \sin x+2;
\end{equation}
\begin{equation}
2(1-\sin^{2} x)-3 \sin x-2=0;
\end{equation}
\begin{equation}
2-2 \sin^{2} x-3 \sin x-2=0;
\end{equation}
\begin{equation}
2 \sin^{2} x+3 \sin x=0;
\end{equation}
\begin{equation}
\sin x (2 \sin x+3)=0;
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
\sin x=0; \\
2 \sin x+3=0;
\end{bmatrix}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
x=\pi n, n \in Z; \\
\sin x=-1,5;
\end{bmatrix}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
x=\pi, n \in Z; \\
коренів \\ немає.
\end{bmatrix}
\end{equation}
Відповідь:
\begin{equation}
\pi n, n \in Z.
\end{equation}
\begin{equation}
2) \cos 2x+\sin x=0;
\end{equation}
\begin{equation}
1-2 \sin^{2} x+ \sin x=0;
\end{equation}
\begin{equation}
2 \sin^{2} x- \sin x-1=0.
\end{equation}
Заміна:
\begin{equation}
\sin x=1, t \in [-1;1].
\end{equation}
\begin{equation}
2t^{2}-t-1=0;
\end{equation}
\begin{equation}
D=9;
\end{equation}
\begin{equation}
t_{1,2}=\frac{1 \pm 3}{4};
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
t_{1}=1; \\
t_{2}=-\frac{1}{2};
\end{bmatrix}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
\sin x=1; \\
\sin x=-\frac{1}{2};
\end{bmatrix}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
x=\frac{\pi}{2}+2 \pi n, n \in Z; \\
x=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+\pi k, k \in Z;
\end{bmatrix}
\end{equation}
Відповідь:
\begin{equation}
\frac{\pi}{2}+2 \pi n, n \in Z;
\end{equation}
\begin{equation}
(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+\pi k, k \in Z;
\end{equation}
\begin{equation}
3)2 \cos 2x-3 \cos x+2=0;
\end{equation}
\begin{equation}
2(2 \cos^{2} x-1)-3 \cos x+2=0;
\end{equation}
\begin{equation}
4 \cos^{2} x-2-3 \cos x+2=0;
\end{equation}
\begin{equation}
4 \cos^{2} x-3 \cos x=0;
\end{equation}
\begin{equation}
\cos x(4 \cos x-3)=0;
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
\cos x=0; \\
4 \cos x-3=0;
\end{bmatrix}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
x=\frac{\pi}{2}+2 \pi n, n \in Z; \\
\cos x=\frac{3}{4}
\end{bmatrix}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
x=\frac{\pi}{2}+2 \pi n, n \in Z; \\
x= \pm \arccos \frac{3}{4}+2 \pi k, k \in Z.
\end{bmatrix}
\end{equation}
Відповідь:
\begin{equation}
\frac{\pi}{2}+2 \pi n, n \in Z;
\end{equation}
\begin{equation}
\pm \arccos \frac{3}{4}+2 \pi k, k \in Z.
\end{equation}
\begin{equation}
4)3 \, tg^{2} \, x-8 \cos^{2} x+1=0;
\end{equation}
ОДЗ
\begin{equation}
x \neq \frac{\pi}{2}+ \pi n, n \in Z.
\end{equation}
\begin{equation}
3 \, tg^{2} \, x-\frac{8}{1+tg^{2} \, x}+1=0;
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{3 \, tg^{2} \, x+3 \, tg^{4} \, x-8+1+ tg^{2} \, x}{1+tg^{2} \, x}=0;
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{3 \, tg^{4} \, x+4\, tg^{2} \, x-7}{1+tg^{2} \, x}=0;
\end{equation}
\begin{equation}
3 \, tg^{4} \, x+4 \, tg^{2} \, x-7=0.
\end{equation}
Заміна:
\begin{equation}
tg^{2} \, x=t, t \geq 0.
\end{equation}
\begin{equation}
3t^{2}+4t-7=0;
\end{equation}
\begin{equation}
D=100;
\end{equation}
\begin{equation}
t_{1,2}=\frac{-4 \pm 10}{6};
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
t_{1}=1; \\
t_{2}=-\frac{7}{3};
\end{bmatrix}
-\frac{7}{3}
\end{equation}
- не задовільняє
\begin{equation}
t \geq 0;
\end{equation}
\begin{equation}
tg^{2} \, x=1;
\begin{bmatrix}
tg \, x=1; \\
tg \, x=-1;
\end{bmatrix}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
x=\frac{\pi}{4}+ \pi k, k \in Z; \\
x=-\frac{\pi}{4}+ \pi m, m \in Z.
\end{bmatrix}
\end{equation}
Відповідь:
\begin{equation}
\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}, k \in Z.
\end{equation}
\begin{equation}
5) \sin x+2 \cos x=0;
\end{equation}
\begin{equation}
tg \, x+2=0;tg \, x=-2;
\end{equation}
\begin{equation}
x=-arctg \, 2+ \pi n, n \in Z.
\end{equation}
Відповідь:
\begin{equation}
-arctg \, 2+\pi n, n \in Z.
\end{equation}
\begin{equation}
6) \sin 2x=\cos^{4} \frac{x}{2}-\sin^{4} \frac{x}{2};
\end{equation}
\begin{equation}
\sin 2x=\left ( \cos^{2}\frac{x}{2}-\sin^{2}\frac{x}{2} \right )
\end{equation}
\begin{equation}
\left ( \cos^{2}\frac{x}{2}+\sin^{2}\frac{x}{2} \right );
\end{equation}
\begin{equation}
2 \sin x \cos x=\cos x \cdot 1;
\end{equation}
\begin{equation}
2 \sin x \cos x- \cos x=0;
\end{equation}
\begin{equation}
\cos x(2 \sin x-1)=0;
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
\cos x=0, \\
2 \sin x-1=0;
\end{bmatrix}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
\cos x=0, \\
\sin x=\frac{1}{2};
\end{bmatrix}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
x=\frac{\pi}{2}+ \pi n, n \in Z, \\
x=(-1)^{k}\frac{\pi}{6}+ \pi k, k \in Z.
\end{bmatrix}
\end{equation}
Відповідь:
\begin{equation}
\frac{\pi}{2}+ \pi n, n \in Z,
\end{equation}
\begin{equation}
(-1)^{k}\frac{\pi}{6}+ \pi k, k \in Z.
\end{equation}
