ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Домашня самостійна робота №1

1. Укажіть вираз, що не є цілим раціональним виразом.

В. $\frac{5}{m-3}$. Цілий раціональний вираз не містить ділення на змінну. Оскільки у знаменнику є змінна `m`, цей вираз є дробово-раціональним.

2. Скоротіть дріб $\frac{5ax}{5xy}$.

Б. $\frac{a}{y}$. $\frac{5ax}{5xy} = \frac{\cancel{5}a\cancel{x}}{\cancel{5}\cancel{x}y} = \frac{a}{y}$.

3. Виконайте дію $\frac{m}{3} - \frac{5}{b}$.

Г. $\frac{mb-15}{3b}$. Спільний знаменник $3b$. $\frac{m \cdot b}{3 \cdot b} - \frac{5 \cdot 3}{b \cdot 3} = \frac{mb-15}{3b}$.

4. Знайдіть допустимі значення змінної у виразі $\frac{a-3}{a+2}$.

В. $a$ - будь-яке число, крім -2. Знаменник дробу не може дорівнювати нулю: $a+2 \neq 0 \implies a \neq -2$.

5. Скоротіть дріб $\frac{2p+4}{p^2-4}$.

А. $\frac{2}{p-2}$. $\frac{2(p+2)}{(p-2)(p+2)} = \frac{2}{p-2}$.

6. Виконайте дію $\frac{4m}{m-a}+\frac{4a}{a-m}$.

Б. $4$. $\frac{4m}{m-a}-\frac{4a}{m-a} = \frac{4m-4a}{m-a} = \frac{4(m-a)}{m-a}=4$.

7. Для яких значень $x$ дріб $\frac{(3+x)(1-x)}{5x-5}$ дорівнює нулю?

Б. -3. Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник ні. Чисельник: $(3+x)(1-x)=0 \implies x=-3$ або $x=1$. Знаменник: $5x-5 \neq 0 \implies x \neq 1$. Отже, єдиний корінь $x=-3$.

8. Спростіть вираз $\frac{2m}{m-3}+\frac{m}{m+3}-\frac{2m^2}{9-m^2}$.

В. $\frac{5m^2+3m}{m^2-9}$. $\frac{2m}{m-3}+\frac{m}{m+3}+\frac{2m^2}{m^2-9} = \frac{2m(m+3)+m(m-3)+2m^2}{(m-3)(m+3)} = \frac{2m^2+6m+m^2-3m+2m^2}{m^2-9} = \frac{5m^2+3m}{m^2-9}$.

9. Подайте дріб $\frac{m^3-m^4+3}{m^3}$ у вигляді суми цілого виразу і дробу.

В. $1-m+\frac{3}{m^3}$. $\frac{m^3}{m^3} - \frac{m^4}{m^3} + \frac{3}{m^3} = 1-m+\frac{3}{m^3}$.

10. Для яких значень $x$ вираз $\frac{x^2-9}{|x+1|-4}$ має зміст?

Г. $x$ - будь-яке число, крім 3 і -5. Знаменник не може бути нулем: $|x+1|-4 \neq 0 \implies |x+1| \neq 4$. Звідси $x+1 \neq 4$ (тобто $x \neq 3$) і $x+1 \neq -4$ (тобто $x \neq -5$).

11. Для яких значень $x$ дріб $\frac{x^2-9}{|x+1|-4}$ дорівнює нулю?

В. -3. Чисельник $x^2-9=0$ при $x=3$ або $x=-3$. Оскільки $x=3$ не входить в область допустимих значень (див. завдання 10), єдиним коренем є $x=-3$.

12. Знайдіть значення виразу $\frac{2(x-4y)}{(x-2)(y-1)} - \frac{x^2-8y}{(2-x)(1-y)}$, якщо $x=13, y=0,99$.

А. 1300. $\frac{2(x-4y)}{(x-2)(y-1)} - \frac{x^2-8y}{-(x-2)(- (y-1))} = \frac{2x-8y-(x^2-8y)}{(x-2)(y-1)} = \frac{2x-x^2}{(x-2)(y-1)} = \frac{-x(x-2)}{(x-2)(y-1)} = \frac{-x}{y-1} = \frac{x}{1-y}$. Підставляємо значення: $\frac{13}{1-0,99} = \frac{13}{0,01} = 1300$.

13. Установіть відповідність між виразом (1-3) та його значенням (А-Г), якщо $x=2,5$.

1 - Б (4,5). $\frac{x^3+8}{x^2-2x+4} = \frac{(x+2)(x^2-2x+4)}{x^2-2x+4}=x+2=2,5+2=4,5$.

2 - А (4). $\frac{4x}{x-2}+\frac{8}{2-x} = \frac{4x-8}{x-2} = \frac{4(x-2)}{x-2}=4$.

3 - В (5). $\frac{100}{10x-x^2}+\frac{x}{x-10} = \frac{100}{x(10-x)}-\frac{x^2}{x(10-x)} = \frac{100-x^2}{x(10-x)} = \frac{(10-x)(10+x)}{x(10-x)} = \frac{10+x}{x} = \frac{10+2,5}{2,5} = \frac{12,5}{2,5}=5$.