Теоретичний довідник з алгебри: 8 клас

Раціональний вираз — це вираз, що складається з чисел, змінних та дій додавання, віднімання, множення, ділення та піднесення до степеня. Якщо вираз містить ділення на змінну, він називається дробовим.

Якщо чисельник і знаменник дробу помножити або поділити на один і той самий ненульовий вираз, то отримаємо дріб, тотожно рівний даному. $\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}$. Це дозволяє скорочувати дроби.

Щоб додати (відняти) дроби з різними знаменниками, їх потрібно звести до спільного знаменника, а потім виконати дію з чисельниками, залишивши знаменник без змін.

Множення: добутком двох дробів є дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельників, а знаменник — добутку знаменників: $\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}$.
Ділення: щоб поділити дріб, треба помножити його на обернений: $\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C}$.

Це рівняння, що містять дроби зі змінною в знаменнику. Алгоритм розв'язання:
1. Знайти область допустимих значень (ОДЗ) — усі значення змінної, при яких знаменники не дорівнюють нулю.
2. Звести всі дроби до спільного знаменника та відкинути його.
3. Розв'язати отримане ціле рівняння.
4. Виключити корені, які не входять до ОДЗ.

Для будь-якого числа $a \neq 0$:
Від'ємний показник: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Нульовий показник: $a^0 = 1$.

Для будь-яких $a \neq 0, b \neq 0$ та цілих $m, n$:
1) $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ (множення)
2) $a^m : a^n = a^{m-n}$ (ділення)
3) $(a^m)^n = a^{mn}$ (піднесення степеня до степеня)
4) $(ab)^n = a^n b^n$ (степінь добутку)
5) $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ (степінь частки)

Це запис числа у вигляді $a \cdot 10^n$, де $1 \le a < 10$ і $n$ — ціле число (порядок числа). Використовується для дуже великих або дуже малих чисел.

Ця функція називається оберненою пропорційністю, а її графік — гіпербола.
Властивості:
• Область визначення: усі числа, крім 0.
• Якщо $k > 0$, гілки розташовані в I і III чвертях.
• Якщо $k < 0$, гілки розташовані в II і IV чвертях.

Арифметичним квадратним коренем з числа $a$ (позначається $\sqrt{a}$) називається невід'ємне число, квадрат якого дорівнює $a$. Вираз $\sqrt{a}$ має зміст тільки при $a \ge 0$.

• Якщо $a > 0$, рівняння має два корені: $x_{1,2} = \pm\sqrt{a}$.
• Якщо $a = 0$, рівняння має один корінь: $x = 0$.
• Якщо $a < 0$, рівняння не має дійсних коренів.

Для $a \ge 0, b \ge 0$:
1) Корінь із добутку: $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$
2) Корінь із дробу: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (при $b \neq 0$)
3) Корінь зі степеня: $\sqrt{a^2} = |a|$ (завжди додатне значення)

Потрібно розкласти підкореневий вираз на множники так, щоб з одного з них можна було добути корінь.

Щоб внести додатний множник під знак кореня, його потрібно піднести до квадрата і помножити на підкореневий вираз.

Потрібно домножити чисельник і знаменник дробу на такий вираз, щоб у знаменнику зник корінь.

Графіком є вітка параболи.
• Область визначення: $x \ge 0$.
• Область значень: $y \ge 0$.
• Функція є зростаючою на всій області визначення.

Рівняння виду $ax^2 + bx + c = 0$, де $a \neq 0$.
• Повне: всі коефіцієнти $a, b, c$ відмінні від нуля.
• Неповне: якщо $b=0$ або $c=0$.
• Зведене: якщо старший коефіцієнт $a=1$.

Спочатку обчислюється дискримінант: $D = b^2 - 4ac$.
• Якщо $D > 0$ — два різні корені: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
• Якщо $D = 0$ — один корінь: $x = \frac{-b}{2a}$.
• Якщо $D < 0$ — дійсних коренів немає.

Для зведеного квадратного рівняння $x^2 + px + q = 0$:
• Сума коренів: $x_1 + x_2 = -p$.
• Добуток коренів: $x_1 \cdot x_2 = q$.
Теорема допомагає швидко знаходити цілі корені підбором.

Якщо $x_1$ та $x_2$ — корені тричлена $ax^2 + bx + c$, то його можна розкласти за формулою: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.

Рівняння виду $ax^4 + bx^2 + c = 0$ розв'язується методом заміни змінної. Вводиться заміна $x^2 = t$ (де $t \ge 0$). Рівняння перетворюється на квадратне $at^2 + bt + c = 0$. Знайшовши $t$, повертаються до заміни, щоб знайти $x$.