ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Домашня самостійна робота №2

1. Знайдіть добуток $\frac{15}{m^2} \cdot \frac{m}{5}$.

Б. $\frac{3}{m}$. $\frac{15}{m^2} \cdot \frac{m}{5} = \frac{15 \cdot m}{m^2 \cdot 5} = \frac{3 \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{m}}{\cancel{5} \cdot \cancel{m} \cdot m} = \frac{3}{m}$.

2. Виконайте ділення $\frac{3}{p} : \frac{9}{p^3}$.

Г. $\frac{p^2}{3}$. $\frac{3}{p} : \frac{9}{p^3} = \frac{3}{p} \cdot \frac{p^3}{9} = \frac{3 \cdot p^3}{p \cdot 9} = \frac{p^2}{3}$.

3. Укажіть рівняння, коренем якого є число 2.

А. $\frac{x-2}{x}=0$. Дріб дорівнює нулю, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля. Підставимо $x=2$: чисельник $2-2=0$, знаменник $2 \neq 0$. Отже, $x=2$ є коренем.

4. Виконайте множення $\frac{m^2-m}{p^2} \cdot \frac{ap}{m^2-2m+1}$.

В. $\frac{am}{p(m-1)}$. $\frac{m(m-1)}{p^2} \cdot \frac{ap}{(m-1)^2} = \frac{m(m-1)ap}{p^2(m-1)^2} = \frac{am}{p(m-1)}$.

5. Піднесіть до степеня $(-\frac{2p^7}{a^5})^3$.

Б. $-\frac{8p^{21}}{a^{15}}$. $(-\frac{2p^7}{a^5})^3 = \frac{(-2)^3 \cdot (p^7)^3}{(a^5)^3} = \frac{-8p^{21}}{a^{15}}$.

6. Знайдіть корінь рівняння $\frac{2x^2-5}{x+1}=2x$.

А. -2,5. ОДЗ: $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$. $2x^2-5 = 2x(x+1) \implies 2x^2-5 = 2x^2+2x \implies -5=2x \implies x=-2,5$.

7. Спростіть вираз $(25x^2-10x+1) : \frac{10x^2-2x}{4x}$.

В. $10x-2$. $(5x-1)^2 : \frac{2x(5x-1)}{4x} = (5x-1)^2 : \frac{5x-1}{2} = (5x-1)^2 \cdot \frac{2}{5x-1} = 2(5x-1) = 10x-2$.

8. Знайдіть значення виразу $\frac{8}{x+1} : (\frac{x+1}{x-1} - \frac{4}{x^2-1} - \frac{x-1}{x+1})$, якщо $x=2,01$.

Г. 2. $\frac{(x+1)^2 - 4 - (x-1)^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^2+2x+1-4-x^2+2x-1}{(x-1)(x+1)} = \frac{4x-4}{x^2-1} = \frac{4(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{4}{x+1}$. Тепер ділення: $\frac{8}{x+1} : \frac{4}{x+1} = \frac{8}{x+1} \cdot \frac{x+1}{4} = 2$.

9. Укажіть рівняння, рівносильне рівнянню $\frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3}=\frac{18}{x^2-9}$.

В. $\frac{x+2}{x}=0$. ОДЗ: $x \neq \pm 3$. $(x+3)^2+(x-3)^2=18 \implies x^2+6x+9+x^2-6x+9=18 \implies 2x^2+18=18 \implies 2x^2=0 \implies x=0$. Рівняння $\frac{x+2}{x}=0$ має корінь $x=-2$, отже воно не є рівносильним.

10. Спростіть вираз $\frac{0.1a^3+0.8}{0.2a^2-0.8} : \frac{0.5a^2-a+2}{0.25a+0.5}$.

А. $\frac{a+2}{4(a-2)}$. $\frac{0.1(a^3+8)}{0.2(a^2-4)} \cdot \frac{0.25(a+2)}{0.5(a^2-2a+4)} = \frac{0.1(a+2)(a^2-2a+4)}{0.2(a-2)(a+2)} \cdot \frac{0.25(a+2)}{0.5(a^2-2a+4)} = \frac{1}{2(a-2)} \cdot \frac{a+2}{2} = \frac{a+2}{4(a-2)}$.

11. Знайдіть значення виразу $x^2 + \frac{1}{x^2}$, якщо $x - \frac{1}{x} = 5$.

Г. 27. Піднесемо до квадрата: $(x - \frac{1}{x})^2 = 5^2 \implies x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 25 \implies x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 25 \implies x^2 + \frac{1}{x^2} = 27$.

12. Розв'яжіть рівняння $\frac{2-|x-5|}{x-7}=0$.

В. 3. Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник ні. Чисельник: $2-|x-5|=0 \implies |x-5|=2$, звідки $x-5=2$ (тобто $x=7$) або $x-5=-2$ (тобто $x=3$). Знаменник: $x-7 \neq 0 \implies x \neq 7$. Отже, корінь $x=7$ є стороннім. Залишається $x=3$.

13. Установіть відповідність між виразом (1-3) та його значенням (А-Г), якщо $a=7$.

1 - В (2,5). $\frac{16}{a^2-4} \cdot \frac{a+2}{8} = \frac{16}{(a-2)(a+2)} \cdot \frac{a+2}{8} = \frac{2}{a-2}$. Якщо $a=7$, то $\frac{2}{7-2} = \frac{2}{5} = 2,5$.

2 - А (2). $\frac{20}{a^2+6a+9} : \frac{4}{a+3} = \frac{20}{(a+3)^2} \cdot \frac{a+3}{4} = \frac{5}{a+3}$. Якщо $a=7$, то $\frac{5}{7+3} = \frac{5}{10} = 2$.

3 - Г (2,75). $(\frac{a}{4}+\frac{4}{a}+2) \cdot \frac{7}{a+4} = \frac{a^2+16+8a}{4a} \cdot \frac{7}{a+4} = \frac{(a+4)^2}{4a} \cdot \frac{7}{a+4} = \frac{7(a+4)}{4a}$. Якщо $a=7$, то $\frac{7(7+4)}{4 \cdot 7} = \frac{11}{4} = 2,75$.