ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Домашня самостійна робота №4

1. Для функції $y=x^2$ знайдіть значення у, що відповідає значенню $x=-3$.

В. 9. Підставимо значення $x=-3$ у формулу функції: $y = (-3)^2 = 9$.

2. Укажіть вираз, що не має змісту.

Б. $\sqrt{-4}$. Арифметичний квадратний корінь не визначений для від'ємних чисел.

3. Укажіть число, що є ірраціональним.

Г. $\sqrt{5}$. Ірраціональним є число, корінь з якого не є точним квадратом. $\sqrt{5}$ не можна подати у вигляді скінченного або періодичного дробу.

4. Обчисліть $5\sqrt{0,16} - 2\sqrt{1\frac{9}{16}}$.

А. -0,5. $5\sqrt{0,16} - 2\sqrt{\frac{25}{16}} = 5 \cdot 0,4 - 2 \cdot \frac{5}{4} = 2 - \frac{10}{4} = 2 - 2,5 = -0,5$.

5. Розв'яжіть рівняння $x^2=36$.

Б. -6; 6. Рівняння має два корені: $x = \sqrt{36} = 6$ та $x = -\sqrt{36} = -6$.

6. Скоротіть дріб $\frac{2\sqrt{3}+3}{7\sqrt{3}}$.

В. $\frac{2+\sqrt{3}}{7}$. $\frac{2\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2}{7\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(2+\sqrt{3})}{7\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{7}$.

7. Укажіть нерівність, що є правильною.

Г. $\frac{2}{5}\sqrt{125} > 0,2\sqrt{300}$. Внесемо множники під знак кореня для порівняння. Ліва частина: $\sqrt{(\frac{2}{5})^2 \cdot 125} = \sqrt{\frac{4}{25} \cdot 125} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}$. Права частина: $\sqrt{(0,2)^2 \cdot 300} = \sqrt{0,04 \cdot 300} = \sqrt{12}$. Нерівність $\sqrt{20} > \sqrt{12}$ є правильною.

8. Розв'яжіть рівняння $3\sqrt{\frac{x}{4}}-6=0$.

Б. 16. $3\sqrt{\frac{x}{4}}=6 \implies \sqrt{\frac{x}{4}}=2 \implies (\sqrt{\frac{x}{4}})^2 = 2^2 \implies \frac{x}{4}=4 \implies x=16$.

9. Винесіть множник з-під знака кореня у виразі $\sqrt{7a^{10}}$, якщо відомо, що $a<0$.

А. $-a^5\sqrt{7}$. $\sqrt{7a^{10}} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{a^{10}} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{(a^5)^2} = \sqrt{7} \cdot |a^5|$. Оскільки $a<0$, то $a^5 < 0$, тому $|a^5| = -a^5$. Результат: $\sqrt{7} \cdot (-a^5) = -a^5\sqrt{7}$.

10. Спростіть вираз $\sqrt{(\sqrt{13}-12)^2} + \sqrt{(\sqrt{13}-2)^2}$.

В. 10. Використовуємо тотожність $\sqrt{x^2}=|x|$: $|\sqrt{13}-12|+|\sqrt{13}-2|$. Оскільки $\sqrt{13} \approx 3,6$, то $\sqrt{13}-12 < 0$ і $\sqrt{13}-2 > 0$. Тому вираз дорівнює $-(\sqrt{13}-12) + (\sqrt{13}-2) = 12-\sqrt{13}+\sqrt{13}-2 = 10$.

11. Укажіть усі такі значення a, для яких рівняння $ax^2 = -9$ має два різних дійсних корені.

В. $a<0$. Перетворимо рівняння: $x^2 = -\frac{9}{a}$. Рівняння має два різних дійсних корені, коли права частина строго додатна: $-\frac{9}{a} > 0$. Оскільки чисельник 9 додатний, а перед дробом стоїть мінус, знаменник $a$ має бути від'ємним, щоб весь вираз був додатним. Отже, $a<0$.

12. Знайдіть значення виразу $(\sqrt{9-4\sqrt{5}} - \sqrt{9+4\sqrt{5}})^2$.

Г. 16. Застосуємо формулу квадрата різниці: $(\sqrt{9-4\sqrt{5}})^2 - 2\sqrt{9-4\sqrt{5}}\sqrt{9+4\sqrt{5}} + (\sqrt{9+4\sqrt{5}})^2 = (9-4\sqrt{5}) - 2\sqrt{(9-4\sqrt{5})(9+4\sqrt{5})} + (9+4\sqrt{5}) = 18 - 2\sqrt{9^2-(4\sqrt{5})^2} = 18 - 2\sqrt{81-80} = 18 - 2\sqrt{1} = 18-2=16$.

13. Установіть відповідність між виразом (1–3) та його значенням (А–Г).

1 - Г (15). $(\sqrt{17}-\sqrt{2})(\sqrt{17}+\sqrt{2}) = (\sqrt{17})^2 - (\sqrt{2})^2 = 17 - 2 = 15$.

2 - А (12). $(\sqrt{27}-\sqrt{3})^2 = (3\sqrt{3}-\sqrt{3})^2 = (2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.

3 - Б (13). $(\sqrt{3}+\sqrt{10})^2 - 2\sqrt{30} = (\sqrt{3})^2+2\sqrt{3}\sqrt{10}+(\sqrt{10})^2 - 2\sqrt{30} = 3+2\sqrt{30}+10-2\sqrt{30} = 13$.