ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Домашня самостійна робота №5

1. Укажіть рівняння, що є квадратним.

Б. $2x^2-3x+7=0$. Квадратне рівняння має загальний вигляд $ax^2+bx+c=0$, де $a \neq 0$.

2. Якщо дискримінант квадратного рівняння дорівнює 15, то квадратне рівняння...

В. Має два різних корені. Якщо дискримінант $D>0$, рівняння має два різних дійсних корені. Оскільки $15>0$, рівняння має два різних корені.

3. Нехай $x_1$ і $x_2$ - корені рівняння $x^2+x-5=0$, тоді

Г. $x_1+x_2=-1; x_1x_2=-5$. За теоремою Вієта для рівняння $x^2+px+q=0$: $x_1+x_2=-p$ та $x_1x_2=q$. У нашому випадку $p=1, q=-5$. Отже, $x_1+x_2=-1$ та $x_1x_2=-5$.

4. Укажіть корені рівняння $5x^2-4x=0$.

Б. 0; 0,8. Винесемо $x$ за дужки: $x(5x-4)=0$. Корені: $x_1=0$ та $5x-4=0 \implies 5x=4 \implies x_2=\frac{4}{5}=0,8$.

5. Розв'яжіть рівняння $3x^2-10x+3=0$.

А. $\frac{1}{3}; 3$. $D=b^2-4ac=(-10)^2-4 \cdot 3 \cdot 3=100-36=64$. $\sqrt{D}=8$. $x_1=\frac{10-8}{2 \cdot 3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$. $x_2=\frac{10+8}{2 \cdot 3}=\frac{18}{6}=3$.

6. Площа прямокутника дорівнює 168 см², а одна з його сторін на 2 см менша від другої. Знайдіть меншу сторону прямокутника.

В. 12 см. Нехай менша сторона $x$ см, тоді більша $(x+2)$ см. $x(x+2)=168 \implies x^2+2x-168=0$. $D=2^2-4(1)(-168)=4+672=676$. $\sqrt{D}=26$. $x=\frac{-2+26}{2}=12$ (від'ємний корінь не підходить). Менша сторона — 12 см.

7. Для якого значення $a$ число 2 буде коренем рівняння $ax^2+4x-20=0$?

Б. 3. Підставимо $x=2$ у рівняння: $a(2)^2+4(2)-20=0 \implies 4a+8-20=0 \implies 4a=12 \implies a=3$.

8. Розв'яжіть рівняння $(x+2)^2=4x+5$.

А. -1; 1. $x^2+4x+4=4x+5 \implies x^2-1=0 \implies x^2=1$. Корені: $x_1=1, x_2=-1$.

9. Дано три послідовних натуральних числа. Потроєний квадрат меншого з них на 50 більший за суму квадратів двох інших. Знайдіть менше із даних чисел.

Б. 11. Нехай числа $n, n+1, n+2$. $3n^2=(n+1)^2+(n+2)^2+50 \implies 3n^2=n^2+2n+1+n^2+4n+4+50 \implies n^2-6n-55=0$. Корені: 11 та -5. Оскільки число натуральне, $n=11$.

10. Розв'яжіть рівняння $(\sqrt{x}-3)(2x^2+3x-5)=0$.

Г. 1; 9. ОДЗ: $x \ge 0$. $\sqrt{x}-3=0 \implies \sqrt{x}=3 \implies x=9$. $2x^2+3x-5=0$. $D=49$. $x_1=\frac{-3-7}{4}=-2,5$ (не входить в ОДЗ). $x_2=\frac{-3+7}{4}=1$. Корені: 1 та 9.

11. Нехай $x_1$ і $x_2$ — корені рівняння $2x^2-3x-7=0$. Не розв'язуючи рівняння, знайдіть значення виразу $x_1^2+x_2^2$.

А. 9,25. За теоремою Вієта: $x_1+x_2=\frac{3}{2}, x_1x_2=-\frac{7}{2}$. $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(\frac{3}{2})^2-2(-\frac{7}{2})=\frac{9}{4}+7=2,25+7=9,25$.

12. Під час ділової зустрічі було здійснено 36 потисків руки, причому всі учасники потисли руку одне одному. Скільки осіб взяло участь у діловій зустрічі?

Б. 9. Нехай було $n$ осіб. Кількість рукостискань: $\frac{n(n-1)}{2}$. $\frac{n(n-1)}{2}=36 \implies n^2-n-72=0$. Корені: 9 та -8. Кількість осіб не може бути від'ємною, тому $n=9$.

13. Установіть відповідність між рівнянням (1–3) та його коренем (А–Г).

1 - Б (0; 2). $(x+2)(x-4)=-8 \implies x^2-2x-8=-8 \implies x^2-2x=0 \implies x(x-2)=0$. Корені: 0; 2.

2 - А (-1; 2). $(2x-1)(2x+1)=3x^2+x+1 \implies 4x^2-1=3x^2+x+1 \implies x^2-x-2=0$. Корені: -1; 2.

3 - Г ($1\frac{1}{3}$; 2). $\frac{x^2+2x}{4}=\frac{4x-2}{3} \implies 3(x^2+2x)=4(4x-2) \implies 3x^2+6x=16x-8 \implies 3x^2-10x+8=0$. $D=4$. $x_1=\frac{10-2}{6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}$; $x_2=\frac{10+2}{6}=2$.