ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Домашня самостійна робота №6

1. Укажіть вираз, який є квадратним тричленом.

Б. $2x^2+x-3$. Квадратний тричлен — це многочлен вигляду $ax^2+bx+c$, де $a \neq 0$.

2. Знайдіть дискримінант квадратного тричлена $2x^2-3x-7$.

Г. 65. За формулою $D=b^2-4ac$: $D=(-3)^2-4 \cdot 2 \cdot (-7)=9+56=65$.

3. Укажіть біквадратне рівняння.

Б. $4x^4+x^2-3=0$. Біквадратне рівняння має вигляд $ax^4+bx^2+c=0$, де $a \neq 0$.

4. Розкладіть на лінійні множники квадратний тричлен $-2x^2+3x+5$.

А. $-2(x+1)(x-2,5)$. Знайдемо корені рівняння $-2x^2+3x+5=0$. $D=3^2-4(-2)(5)=49$. $x_1=\frac{-3-7}{-4}=2,5$; $x_2=\frac{-3+7}{-4}=-1$. Розклад: $a(x-x_1)(x-x_2)=-2(x-2,5)(x-(-1))=-2(x-2,5)(x+1)$.

5. Розв'яжіть рівняння $\frac{x^2}{x-7}=\frac{49}{x-7}$.

В. -7. ОДЗ: $x \neq 7$. Прирівнюємо чисельники: $x^2=49$. Корені: $x=7$ та $x=-7$. Корінь $x=7$ не входить до ОДЗ. Залишається $x=-7$.

6. Розв'яжіть рівняння $x^3+2x^2-3x=0$.

Г. -3; 0; 1. Винесемо $x$ за дужки: $x(x^2+2x-3)=0$. $x_1=0$. Розв'яжемо $x^2+2x-3=0$. За теоремою Вієта корені: $x_2=1, x_3=-3$. Усі корені: -3; 0; 1.

7. Скоротіть дріб $\frac{x^2-5x+6}{x^2-9}$.

Б. $\frac{x-2}{x+3}$. Розкладемо на множники чисельник і знаменник: $\frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{x-2}{x+3}$.

8. Для яких значень $x$ сума дробів $\frac{6}{1+x}$ і $\frac{x}{3-x}$ дорівнює їх добутку?

В. 2; 9. $\frac{6}{1+x}+\frac{x}{3-x}=\frac{6x}{(1+x)(3-x)}$. ОДЗ: $x \neq -1, x \neq 3$. $\frac{6(3-x)+x(1+x)}{(1+x)(3-x)}=\frac{6x}{(1+x)(3-x)}$. $18-6x+x+x^2=6x \implies x^2-11x+18=0$. За теоремою Вієта корені: 2 і 9.

9. Два автомобілі одночасно виїхали з одного міста в інше, відстань між якими 360 км. Швидкість одного з них була на 10 км/год більшою за швидкість другого, тому він прибув у кінцевий пункт на 30 хв раніше. Знайдіть швидкість повільнішого автомобіля.

Б. 80 км/год. Нехай $v$ км/год — швидкість повільнішого автомобіля. Рівняння: $\frac{360}{v}-\frac{360}{v+10}=0,5$. $v^2+10v-7200=0$. $D=28900$. $v=\frac{-10+170}{2}=80$ км/год.

10. Розкладіть на множники многочлен $-\frac{1}{4}x^4-x^3+3x^2$.

А. $-\frac{1}{4}x^2(x-2)(x+6)$. Винесемо за дужки $-\frac{1}{4}x^2$: $-\frac{1}{4}x^2(x^2+4x-12)$. Корені тричлена $x^2+4x-12=0$ є 2 та -6. Розклад: $-\frac{1}{4}x^2(x-2)(x+6)$.

11. Розв'яжіть рівняння $x^3+3x^2-6x-8=0$.

Б. -4; -1; 2. Підбором знаходимо цілі корені серед дільників числа -8: $\pm1, \pm2, \pm4$. Підходять $x=-1, x=2, x=-4$.

12. Човен, власна швидкість якого більша за 20 км/год, пройшов 24 км за течією річки і повернувся назад, витративши на весь шлях 3 год 18 хв. Швидкість течії річки дорівнює 2 км/год. Знайдіть власну швидкість човна.

Б. 22 км/год. Нехай $v$ — власна швидкість. Рівняння: $\frac{24}{v-2}+\frac{24}{v+2}=3,3$. Після спрощень: $9v^2-200v+44=0$. $D=38416$. $v=\frac{200+196}{18}=22$ км/год.

13. Установіть відповідність між рівнянням (1–3) та його коренем (А–Г).

1 - Б (-3; 6). $\frac{x-7}{x-2}+\frac{x+4}{x+2}=1$. Приводимо до рівняння $x^2-3x-18=0$. Корені: -3; 6.

2 - Г (-6; -3; 3). $x^3+6x^2-9x-54=0 \implies x^2(x+6)-9(x+6)=0 \implies (x+6)(x^2-9)=0$. Корені: -6; -3; 3.

3 - А (-3; 3). $(x^2-2)^2-4(x^2-2)-21=0$. Заміна $t=x^2-2$. Рівняння $t^2-4t-21=0$. Корені $t=7, t=-3$. $x^2-2=7 \implies x^2=9 \implies x=\pm3$. $x^2-2=-3 \implies x^2=-1$ (коренів немає). Корені: -3; 3.