ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Завдання для перевірки знань до §§ 1-4

Завдання 1

Умова: Які з виразів є цілими, а які – дробовими: 1) $\frac{1}{3}a^2b$; 2) $\frac{x-y}{x}$; 3) $\frac{c+2}{9}$; 4) $p^2-p-19$?

Розв'язання:

Цілі вирази не містять ділення на змінну.

1) $\frac{1}{3}a^2b$ – цілий вираз.

2) $\frac{x-y}{x}$ – дробовий вираз (є ділення на змінну $x$).

3) $\frac{c+2}{9}$ – цілий вираз (ділення відбувається на число, а не на змінну).

4) $p^2-p-19$ – цілий вираз.

Завдання 2

Умова: Скоротіть дріб: 1) $\frac{m^2}{mn}$; 2) $\frac{4ab}{4bc}$.

Розв'язання:

1) $\frac{m^2}{mn} = \frac{m \cdot m}{m \cdot n} = \frac{m}{n}$.

2) $\frac{4ab}{4bc} = \frac{4 \cdot a \cdot b}{4 \cdot b \cdot c} = \frac{a}{c}$.

Завдання 3

Умова: Виконайте дію: 1) $\frac{a-b}{n} + \frac{b}{n}$; 2) $\frac{x}{2} - \frac{3}{y}$.

Розв'язання:

1) $\frac{a-b}{n} + \frac{b}{n} = \frac{a-b+b}{n} = \frac{a}{n}$.

2) $\frac{x}{2} - \frac{3}{y} = \frac{x \cdot y}{2 \cdot y} - \frac{3 \cdot 2}{y \cdot 2} = \frac{xy-6}{2y}$.

Завдання 4

Умова: Знайдіть допустимі значення змінної у виразі: 1) $\frac{5}{x(x-1)}$; 2) $\frac{2a+1}{a+2}+\frac{1}{a-3}$.

Розв'язання:

1) Знаменник не може дорівнювати нулю: $x(x-1) \neq 0$. Отже, $x \neq 0$ і $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

2) Знаменники не можуть дорівнювати нулю: $a+2 \neq 0 \implies a \neq -2$ і $a-3 \neq 0 \implies a \neq 3$.

Завдання 5

Умова: Скоротіть дріб: 1) $\frac{16am}{20bm^2}$; 2) $\frac{12am^2}{8mc}$; 3) $\frac{2m-6}{m^2-9}$; 4) $\frac{ax+2a}{x^2+4x+4}$.

Розв'язання:

1) $\frac{16am}{20bm^2} = \frac{4 \cdot 4 \cdot a \cdot m}{5 \cdot 4 \cdot b \cdot m \cdot m} = \frac{4a}{5bm}$.

2) $\frac{12am^2}{8mc} = \frac{3 \cdot 4 \cdot a \cdot m \cdot m}{2 \cdot 4 \cdot m \cdot c} = \frac{3am}{2c}$.

3) $\frac{2m-6}{m^2-9} = \frac{2(m-3)}{(m-3)(m+3)} = \frac{2}{m+3}$.

4) $\frac{ax+2a}{x^2+4x+4} = \frac{a(x+2)}{(x+2)^2} = \frac{a}{x+2}$.

Завдання 6

Умова: Виконайте дію: 1) $\frac{3a}{a-b}+\frac{3b}{b-a}$; 2) $\frac{5x+y}{x^2y}+\frac{x-5y}{xy^2}$.

Розв'язання:

1) $\frac{3a}{a-b}+\frac{3b}{b-a} = \frac{3a}{a-b}-\frac{3b}{a-b} = \frac{3a-3b}{a-b} = \frac{3(a-b)}{a-b}=3$.

2) $\frac{5x+y}{x^2y}+\frac{x-5y}{xy^2} = \frac{y(5x+y)}{x^2y^2}+\frac{x(x-5y)}{x^2y^2} = \frac{5xy+y^2+x^2-5xy}{x^2y^2} = \frac{x^2+y^2}{x^2y^2}$.

Завдання 7

Умова: Спростіть вираз $\frac{2b}{b-4}-\frac{b+4}{b-4}$.

Розв'язання:

Завдання 8

Умова: Подайте дріб у вигляді суми або різниці цілого виразу і дробу: 1) $\frac{c^2-c^3+5}{c^2}$; 2) $\frac{p^2-p-1}{p-1}$.

Розв'язання:

1) $\frac{c^2-c^3+5}{c^2} = \frac{c^2}{c^2}-\frac{c^3}{c^2}+\frac{5}{c^2} = 1-c+\frac{5}{c^2}$.

2) $\frac{p^2-p-1}{p-1} = \frac{p(p-1)-1}{p-1} = \frac{p(p-1)}{p-1}-\frac{1}{p-1} = p-\frac{1}{p-1}$.

Завдання 10

Умова: Знайдіть: 1) область визначення виразу $\frac{x^2-16}{|x+1|-5}$; 2) значення $x$, для яких дріб дорівнює нулю.

Розв'язання:

1) Знаменник не може дорівнювати нулю: $|x+1|-5 \neq 0 \implies |x+1| \neq 5$. Це означає, що $x+1 \neq 5$ (тобто $x \neq 4$) і $x+1 \neq -5$ (тобто $x \neq -6$). Область визначення: усі числа, крім 4 та -6.

2) Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник ні. Чисельник: $x^2-16=0 \implies (x-4)(x+4)=0$, звідки $x=4$ або $x=-4$. Оскільки $x=4$ не входить в область визначення, єдиний корінь: $x=-4$.

Завдання 11

Умова: Спростіть вираз $\frac{3(a-2b)}{(a-3)(b-4)}-\frac{a^2-6b}{(3-a)(4-b)}$.

Розв'язання: