ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Завдання для перевірки знань до §§ 20–23

1. Які з рівнянь є квадратними:

1) $x^2-4x+7=0$ — так, це повне квадратне рівняння.

2) $x^2+\frac{1}{x}=19$ — ні, це не є квадратним рівнянням.

3) $x^2-15=0$ — так, це неповне квадратне рівняння.

4) $7x-13=2x+3$ — ні, це лінійне рівняння.

Відповідь: 1 та 3.

2. Скільки різних коренів має квадратне рівняння, якщо його дискримінант дорівнює:

1) $D = 9$ ($D > 0$) $\implies$ 2 різні корені.

2) $D = 0$ $\implies$ 1 корінь.

3) $D = -16$ ($D < 0$) $\implies$ жодного кореня.

4) $D = 23$ ($D > 0$) $\implies$ 2 різні корені.

3. Знайдіть суму і добуток коренів рівняння $x^2+2x-17=0$.

За теоремою Вієта: сума $x_1+x_2=-2$, добуток $x_1x_2=-17$.

4. Розв'яжіть неповне квадратне рівняння:

1) $2x^2-18=0 \implies 2x^2=18 \implies x^2=9 \implies x=\pm3$.

2) $3x^2-4x=0 \implies x(3x-4)=0 \implies x=0$ або $3x=4 \implies x=\frac{4}{3}$.

5. Розв'яжіть рівняння:

1) $2x^2-5x+2=0$. $D=(-5)^2-4 \cdot 2 \cdot 2=9$. $x_1=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2}$; $x_2=\frac{5+3}{4}=2$.

2) $x^2-6x+9=0 \implies (x-3)^2=0 \implies x=3$.

6. Одна зі сторін прямокутника на 4 см більша за другу, а площа прямокутника дорівнює 192 см². Знайдіть його периметр.

Нехай сторони $x$ та $x+4$. Рівняння: $x(x+4)=192 \implies x^2+4x-192=0$. $D=16-4(-192)=784=28^2$. $x=\frac{-4+28}{2}=12$. Сторони: 12 см і 16 см. Периметр: $P=2(12+16)=56$ см.

7. Розв'яжіть рівняння:

1) $(x+1)^2=4x-5 \implies x^2+2x+1=4x-5 \implies x^2-2x+6=0$. $D=4-24=-20<0$. Дійсних коренів немає.

2) $\frac{1}{2}x^2-x-3=0 \implies x^2-2x-6=0$. $D=4-4(-6)=28$. $x=\frac{2\pm\sqrt{28}}{2}=1\pm\sqrt{7}$.

8. Знайдіть три послідовних натуральних числа, якщо квадрат більшого з них на 140 менший від суми квадратів двох інших.

Нехай числа: $n, n+1, n+2$. Рівняння: $(n+2)^2 = n^2+(n+1)^2-140 \implies n^2+4n+4=n^2+n^2+2n+1-140 \implies n^2-2n-143=0$. $D=4-4(-143)=576=24^2$. $n=\frac{2+24}{2}=13$. Числа: 13, 14, 15.

9. Розв'яжіть рівняння $(\sqrt{x}-2)(x^2+3x-4)=0$.

ОДЗ: $x \ge 0$. $\sqrt{x}-2=0 \implies \sqrt{x}=2 \implies x=4$. $x^2+3x-4=0$. Корені за Вієтом: $x=1, x=-4$. Корінь $x=-4$ не задовольняє ОДЗ. Відповідь: 1; 4.

10. Числа $x_1$ і $x_2$ є коренями рівняння $x^2-5x-3=0$. Не розв'язуючи рівняння, знайдіть значення виразу:

За теоремою Вієта: $x_1+x_2=5, x_1x_2=-3$.

1) $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1x_2} = \frac{5}{-3} = -\frac{5}{3}$.

2) $x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2-2x_1x_2 = 5^2-2(-3)=25+6=31$.

11. На першості школи з баскетболу було зіграно 28 матчів, причому кожна команда зіграла з кожною по одному матчу. Скільки команд брало участь у першості школи з баскетболу?

Нехай $n$ — кількість команд. Кількість матчів: $\frac{n(n-1)}{2}$. $\frac{n(n-1)}{2}=28 \implies n^2-n-56=0$. Корені за Вієтом: 8 та -7. Відповідь: 8 команд.