ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Завдання для перевірки знань до §§ 24–26

1. З даних виразів випишіть ті, що є квадратними тричленами:

1) $2x^2-3x+7$ — є квадратним тричленом.

2) $\frac{1}{2x^2-3x+7}$ — ні, це дробовий вираз.

3) $2x^2-3x+7x^3$ — ні, це многочлен третього степеня.

4) $-8+2x^2-3x$ — є квадратним тричленом ($2x^2-3x-8$).

Відповідь: 1 та 4.

2. Знайдіть дискримінант квадратного тричлена та визначте кількість його коренів:

1) $x^2+3x-7$. $D=3^2-4 \cdot 1 \cdot (-7)=9+28=37$. Оскільки $D>0$, тричлен має два корені.

2) $x^2+x+9$. $D=1^2-4 \cdot 1 \cdot 9=1-36=-35$. Оскільки $D<0$, тричлен не має дійсних коренів.

3. Чи є біквадратним рівняння:

1) $x^2+8x-9=0$ — ні, це квадратне рівняння.

2) $x^4+8x^2-9=0$ — так, це біквадратне рівняння.

3) $x^3+8x^2-9=0$ — ні, це кубічне рівняння.

4) $7x^2-x^4-5=0$ — так, це біквадратне рівняння.

Відповідь: 2 та 4.

4. Розкладіть на множники квадратний тричлен:

1) $x^2+4x-5$. Корені: $x_1=1, x_2=-5$. Розклад: $(x-1)(x+5)$.

2) $-2x^2+5x-2$. Корені: $x_1=2, x_2=\frac{1}{2}$. Розклад: $-2(x-2)(x-\frac{1}{2})$.

5. Знайдіть корені рівняння:

1) $x^4+3x^2-4=0$. Заміна $t=x^2$ ($t \ge 0$). $t^2+3t-4=0 \implies t_1=1, t_2=-4$. $x^2=1 \implies x=\pm1$. Відповідь: -1; 1.

2) $\frac{x^2}{x+4}=\frac{16}{x+4}$. ОДЗ: $x \ne -4$. $x^2=16 \implies x=\pm4$. $x=-4$ не підходить. Відповідь: 4.

6. Розв'яжіть рівняння $x^3-5x^2+6x=0$.

$x(x^2-5x+6)=0 \implies x_1=0$ або $x^2-5x+6=0$, звідки $x_2=2, x_3=3$. Відповідь: 0; 2; 3.

7. Скоротіть дріб:

1) $\frac{x^2+2x-8}{x^2+4x} = \frac{(x+4)(x-2)}{x(x+4)} = \frac{x-2}{x}$.

2) $\frac{x^2-4}{2x^2+7x-22} = \frac{(x-2)(x+2)}{2(x-2)(x+5.5)} = \frac{x+2}{2x+11}$.

8. З одного міста в інше одночасно виїхали дві велосипедистки...

Нехай $v$ — швидкість повільнішої. Рівняння: $\frac{60}{v} - \frac{60}{v+3}=1 \implies v^2+3v-180=0$. $v=12$ км/год. Швидкість швидшої — $12+3=15$ км/год. Відповідь: 12 км/год та 15 км/год.

9. Розв'яжіть рівняння:

1) $x+3\sqrt{x}-10=0$. Заміна $t=\sqrt{x}$ ($t \ge 0$). $t^2+3t-10=0 \implies t_1=2, t_2=-5$. $\sqrt{x}=2 \implies x=4$. Відповідь: 4.

2) $(x-3)^4-7(x-3)^2-8=0$. Заміна $t=(x-3)^2$ ($t \ge 0$). $t^2-7t-8=0 \implies t_1=8, t_2=-1$. $(x-3)^2=8 \implies x-3=\pm\sqrt{8} \implies x=3\pm2\sqrt{2}$. Відповідь: $3\pm2\sqrt{2}$.

10. Розкладіть на множники многочлен:

1) $x^3-4x^2-5x = x(x^2-4x-5) = x(x-5)(x+1)$.

2) $-\frac{1}{2}x^4+3x^3-4x^2 = -\frac{1}{2}x^2(x^2-6x+8) = -\frac{1}{2}x^2(x-2)(x-4)$.