ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Завдання для перевірки знань до §§ 5–8

1. Виконайте множення:

1) $\frac{5}{c^4} \cdot \frac{c^2}{4} = \frac{5c^2}{4c^4} = \frac{5}{4c^2}$.

2) $\frac{12}{a^2} \cdot \frac{a}{3} = \frac{12a}{3a^2} = \frac{4}{a}$.

2. Виконайте ділення:

1) $\frac{p}{5} : \frac{p}{7} = \frac{p}{5} \cdot \frac{7}{p} = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5}$.

2) $\frac{2}{a^2} : \frac{4}{a} = \frac{2}{a^2} \cdot \frac{a}{4} = \frac{2a}{4a^2} = \frac{1}{2a}$.

3. Чи є число 4 коренем рівняння:

1) $\frac{x^2-16}{x}=0$. Підставимо $x=4$: $\frac{4^2-16}{4} = \frac{16-16}{4} = \frac{0}{4}=0$. Рівність $0=0$ є правильною. Відповідь: Так.

2) $\frac{x}{x-4}=0$. Підставимо $x=4$: $\frac{4}{4-4} = \frac{4}{0}$. На нуль ділити не можна. Відповідь: Ні.

4. Виконайте дії:

1) $\frac{2a^3}{15m^2} \cdot (-\frac{5m}{6a^3}) = -\frac{2a^3 \cdot 5m}{15m^2 \cdot 6a^3} = -\frac{10a^3m}{90a^3m^2} = -\frac{1}{9m}$.

2) $\frac{x^2-xy}{a^2} \cdot \frac{ab}{x^2-2xy+y^2} = \frac{x(x-y)}{a^2} \cdot \frac{ab}{(x-y)^2} = \frac{xb}{a(x-y)}$.

3) $-\frac{3m^2}{7c^3} : (-\frac{9m^3}{28c}) = \frac{3m^2}{7c^3} \cdot \frac{28c}{9m^3} = \frac{3 \cdot 28 \cdot m^2c}{7 \cdot 9 \cdot c^3m^3} = \frac{4}{3cm}$.

4) $\frac{x^2-16}{3x-6} : \frac{2x+8}{5x-10} = \frac{(x-4)(x+4)}{3(x-2)} \cdot \frac{5(x-2)}{2(x+4)} = \frac{5(x-4)}{6}$.

5. Піднесіть дріб до степеня:

1) $(-\frac{2a^3}{m^2})^3 = \frac{(-2)^3(a^3)^3}{(m^2)^3} = -\frac{8a^9}{m^6}$.

2) $(\frac{a^2b}{c^3})^{10} = \frac{(a^2)^{10}b^{10}}{(c^3)^{10}} = \frac{a^{20}b^{10}}{c^{30}}$.

6. Розв'яжіть рівняння:

1) $\frac{4x+8}{x-3}=0$. ОДЗ: $x \ne 3$. $4x+8=0 \implies x=-2$. Відповідь: -2.

2) $\frac{4x^2-8}{x+1}=4x$. ОДЗ: $x \ne -1$. $4x^2-8=4x(x+1) \implies 4x^2-8=4x^2+4x \implies -8=4x \implies x=-2$. Відповідь: -2.

7. Спростіть вираз $(\frac{2a+1}{2a-1} - \frac{2a-1}{2a+1}):\frac{2a^2}{4a^2-1}$

$\frac{(2a+1)^2-(2a-1)^2}{(2a-1)(2a+1)} \cdot \frac{4a^2-1}{2a^2} = \frac{8a}{4a^2-1} \cdot \frac{4a^2-1}{2a^2} = \frac{8a}{2a^2} = \frac{4}{a}$.

8. Доведіть тотожність $(\frac{7}{x+7}+\frac{x^2+49}{x^2-49}-\frac{7}{7-x}) \cdot \frac{x-7}{x^2+14x+49}=\frac{1}{x+7}$

$\frac{7(x-7)+x^2+49+7(x+7)}{(x-7)(x+7)} \cdot \frac{x-7}{(x+7)^2} = \frac{x^2+14x+49}{(x-7)(x+7)} \cdot \frac{x-7}{(x+7)^2} = \frac{(x+7)^2}{(x-7)(x+7)} \cdot \frac{x-7}{(x+7)^2} = \frac{1}{x+7}$.

9. Відомо, що $x+\frac{1}{x}=9$. Знайдіть значення виразу $x^2+\frac{1}{x^2}$.

$(x+\frac{1}{x})^2=9^2 \implies x^2+2 \cdot x \cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=81 \implies x^2+2+\frac{1}{x^2}=81 \implies x^2+\frac{1}{x^2}=79$.

10. Спростіть вираз $\frac{0.2a^3-1.6}{0.1a^2-1.6} : \frac{0.5a^2+a+2}{0.25a-1}$

$\frac{0.2(a^3-8)}{0.1(a^2-16)} \cdot \frac{0.25(a-4)}{0.5(a^2+2a+4)} = \frac{2(a-2)(a^2+2a+4)}{(a-4)(a+4)} \cdot \frac{0.5(a-4)}{a^2+2a+4} = \frac{a-2}{a+4}$.

11. Розв'яжіть рівняння $\frac{|2-x|-3}{x-5}=0$

ОДЗ: $x \ne 5$. $|2-x|-3=0 \implies |2-x|=3$. $2-x=3 \implies x=-1$. $2-x=-3 \implies x=5$ (не входить до ОДЗ). Відповідь: -1.