Вправа 418 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №418
Умова:
Відомо, що: $$
x-\frac{1}{x}=1
$$
Розв'язання:
1. Знайдемо $x^3-\frac{1}{x^n}$ : Позначимо: $$
a=x-\frac{1}{x}=1
$$
Знайдемо куб: $$
a^3=x^3-3 x\left(\frac{1}{x}\right)+\frac{1}{x^3}
$$
Спрощуємо: $$
\begin{aligned}
1^3 & =x^3-3+\frac{1}{x^3} \\
1 & =x^3-\frac{1}{x^3}-3 . \\
& x^3-\frac{1}{x^3}=4 .
\end{aligned}
$$
2. Знайдемо $x^4+\frac{1}{x^4}$ : Піднесемо $a$ до квадрату: $$
\begin{gathered}
a^2=x^2-2+\frac{1}{x^2} \\
1^2=x^2-2+\frac{1}{x^2} \\
1+2=x^2+\frac{1}{x^2} \\
x^2+\frac{1}{x^2}=3 .
\end{gathered}
$$
Піднесемо до квадрату: $$
\begin{gathered}
\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2=x^4+2+\frac{1}{x^4} \\
3^2=x^4+2+\frac{1}{x^4} \\
9=x^4+2+\frac{1}{x^4} . \\
x^4+\frac{1}{x^4}=7 .
\end{gathered}
$$
Відповідь:
1. $x^3-\frac{1}{x^3}=4$.
2. $x^4+\frac{1}{x^4}=7$.