Вправа 418 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №418
Умова:
Відомо, що:

$$x-\frac{1}{x}=1$$


Розв'язання:
1. Знайдемо $x^3-\frac{1}{x^n}$ :

Позначимо:

$$a=x-\frac{1}{x}=1$$


Знайдемо куб:

$$a^3=x^3-3 x\left(\frac{1}{x}\right)+\frac{1}{x^3}$$


Спрощуємо:

$$\begin{aligned} 1^3 & =x^3-3+\frac{1}{x^3} \\ 1 & =x^3-\frac{1}{x^3}-3 . \\ & x^3-\frac{1}{x^3}=4 . \end{aligned}$$
2. Знайдемо $x^4+\frac{1}{x^4}$ :

Піднесемо $a$ до квадрату:

$$\begin{gathered} a^2=x^2-2+\frac{1}{x^2} \\ 1^2=x^2-2+\frac{1}{x^2} \\ 1+2=x^2+\frac{1}{x^2} \\ x^2+\frac{1}{x^2}=3 . \end{gathered}$$


Піднесемо до квадрату:

$$\begin{gathered} \left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2=x^4+2+\frac{1}{x^4} \\ 3^2=x^4+2+\frac{1}{x^4} \\ 9=x^4+2+\frac{1}{x^4} . \\ x^4+\frac{1}{x^4}=7 . \end{gathered}$$


Відповідь:
1. $x^3-\frac{1}{x^3}=4$.
2. $x^4+\frac{1}{x^4}=7$.