Вправа 1.19 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк

Умова

Вправа 1.19. Чому дорівнює косинус кута, якщо його синус дорівнює: 1) $1$; 2) $0$?

Розв'язання

1) $\sin\alpha = 1$

$\sin\alpha = 1 \Rightarrow \alpha = 90^{\circ}$.

$\cos 90^{\circ} = 0$.

Відповідь

$\cos\alpha = 0$.

2) $\sin\alpha = 0$

$\sin\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = 0^{\circ}$ або $\alpha = 180^{\circ}$.

$\cos 0^{\circ} = 1$, $\cos 180^{\circ} = -1$.

Відповідь

$\cos\alpha = 1$ або $\cos\alpha = -1$.

Основна тотожність

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \Rightarrow \cos\alpha = \pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}$.

Особливі значення

$\sin\alpha = 1 \Leftrightarrow \alpha = 90^{\circ}$ (єдиний кут).

$\sin\alpha = 0 \Leftrightarrow \alpha = 0^{\circ}$ або $\alpha = 180^{\circ}$ (два кути).

Уважно з кількістю відповідей. У пункті 1 синус дорівнює $1$ лише в одному куті — $90^{\circ}$, тому косинус один: $0$. А от у пункті 2 синус дорівнює нулю на обох кінцях проміжку ($0^{\circ}$ і $180^{\circ}$), тому косинусів два: $1$ і $-1$.

Це й пояснює знак $\pm$ у формулі. Коли $\sin\alpha$ малий, кут може бути як гострим (косинус $+$), так і тупим (косинус $-$). Тому через тотожність виходить два значення косинуса — обидва правильні.